换元法是一种重要的数学解题方法,在许多数学问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用,换元法常见的思路有:代数换元与三角换元,下面例析换元法在解题中的应用,希望对同学们的学习有所启示.
1.代数换元
对于明显具有一定结构特点的代数式,可以依据题目的特点,巧设某些代数式作换元,然后再解,可起到化繁为简的作用。
点评:在解题之前,同学们首先应清楚换元的目的,是为了化繁为简,培养学生敏锐的观察能力,是培养学生直觉思维的一种有效途径,这要求学生有较快的应变能力。
2.三角换元
三角代换是常见的一种换元方法,在解一些代数问题时,选用适当的三角函数进行换元。把代数问题转化成三角问题,然后利用三角函数的性质去解决问题,是常用的方法。
点评:
本题进行三角换元,将问题化为了含参三角不等式恒成立的问题,然后运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问
题,从而求出参数范围。一般地,在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相类似的代数式时,或者在解决圆、椭圆、双曲线
等有关问题时,可考虑使用“三角换元法”。
点评:
本题根据条件的特殊性,利用三角换元求解,转化为三角函数问题,利用三角函数的性质求解,显得简捷。