解法二(“瓜豆原理”):
第一步(“导角”得等腰直角三角形):
同解法一,首先推出△PCQ为等腰直角三角形;
接下来想想从动点Q可以看成由主动点P怎么来?
此时,往往可以借助图形的常见变换,即平移、翻折、旋转以及位似的眼光去分析主、从动点间的关系;
第二步(主、从动点间的关系):
如图16-8,由“△PCQ为等腰直角三角形”易知,从动点Q可以看成主动点P绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来;
其实,有关等腰直角三角形的问题,经常可以这样看待;
第三步(主、从动点轨迹间的关系):
每一个从动点Q都是由相应的主动点P如此变换得到,这样一来,从动点Q的轨迹肯定也是由主动点P的轨迹如此变换而来,即从动点Q的轨迹是由主动点P的轨迹(即弧BC)绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来;
这是很自然的想法,跟代数里的整体思想一模一样,只不过将动点的轨迹看成了一个整体而已,属几何里的整体思想,即所谓的“捆绑思想”;
众所周知:图形的常见三大变换,即平移、翻折及旋转不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置;位似前后的图形相似,即位似后的图形与位似前的图形相似,也即位似不改变图形的形状,只改变图形的位置与大小,且其大小随位似比同比例放缩;
有了这个理论的支撑易知:从动点Q的轨迹是与主动点P的轨迹(即弧BC)全等的一段弧,这即为所谓的“种瓜得瓜种豆得豆”之说;
如何确定并画出这段弧呢?只要找到确定其圆心、半径以及相应的端点即可;
第四步(确定目标动点轨迹弧的圆心及端点):依据“捆绑思想”易知,从动点Q的轨迹弧的圆心也是由主动点P的轨迹弧(即弧BC)的圆心O绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来,如图16-9所示;
包括从动点Q的轨迹弧的两个端点也是由主动点P的轨迹弧(即弧BC)的两个端点(即点B与点C)绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来,即为点A与点C;
最后再来一道有趣的“定边对定角”问题,让同学们再次强化对此模型的认知:
例17.如图17所示,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一个动点P,过点P向半径OA作垂线,垂足为点H.设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,求内心I所经过的路径长.
简析:此题有趣,有趣在一个字,即“定”字上面,先看解析:
题目要求内心I所经过的路径长,当然要先确定动点I的轨迹啦;
回到此问题上来,因为OP是一条“动边”,并非我们要寻找的“定边”,那如何解决呢?继续我们的下一步;
第三步(“超级对称”转移边角):如图17-3,连接AI,由OI平分∠AOP结合“对称思想”易知△AOI≌△POI(SAS),从而有∠AIO=∠PIO=135°,亦为一个“定角”
从而可以识别到“定边AO对定角∠AIO”模型;
这里的边AO是确确实实的“定边”,而并非上面OP这个“伪定边”,哈哈!
解题后反思:通过本例,同学们对于“定边对定角”模型有了更深刻的认识嘛!?尤其是“定”字,不仅仅要求是边长确定,包括位置也要确定,即为真正的“定边”;
还有本题中由一个“伪定边对定价”转化成了真正的“定边对定角”,这里的转化非常漂亮,也是一种“超级对称”几何直观意识,值得大家用心揣摩!
前面说了这么多,其实主要还是围绕着板块一,即“路径之隐圆(弧)”展开的,主要介绍了“定义法”、“定边对直角”、“定边对定角”这些最基本的模型解法,其间还穿插了一些如“瓜豆原理”等有趣的解法,下面进入板块二,即路径之隐线(段)!
未完待续,敬请期待!
(第五集完!)
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