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《广猛说题系列之路径专题》(第五集)

互联网  2017-06-06 00:00:00  互联网

第四集重大友情提醒:

经网友提醒,上一集中“模型构建”、例14以及相关变式中如果不强调“动点C位于直线AB的上方”的话,每一道题的目标轨迹都应该由两段弧组成,且这两条弧关于AB对称,此时路径长还需要在原来结果的基础上乘以2,这一点应引起大家的注意!另外,有一些动点的路径(或轨迹)可能在端点处取不到,但这对计算相应的轨迹长问题不受影响,故可忽略,请同学们稍微注意即可!

《第四集》的例题属于模型的直接考察,大多考题会在定角的推导上设置门槛,需要同学们形成主动寻找定角及定边的意识与能力,下面再举几例,同学们可以用心体悟!

例15.如图15所示,P为线段AB上一动点(点P不与点A、B重合),在线段AB的同侧分别作等边△APC和等边△PBD,连结AD、BC,交点为Q.

(1)求∠AQB的度数;

(2)若AB=6,求动点Q运动轨迹的长.

简析:(1)此图是一个经典的“共顶点双等边三角形—手拉手—旋转一拖二模型”,其内部存在丰富多彩的结论;

首先,利用图15-1中的全等三角形(SAS)易推得∠1=∠2;

再结合图15-2中的“8字型”结构,导角易得∠AQB=120°;

当然也可以利用图15-3中的“8字型”结构,导角推得∠AQB的度数,殊途同归,不再赘述;

若连接PQ,这个基本图形中将“8字成疯”,可以结合“四点共圆”或者“对顶相似”等结构去探究,如图15-4所示,包括还有许多的“平行8字型”等!

(2)由第(1)小问知目标动点Q处产生了(多个)定角,要想求其运动的轨迹长,自然联想到“定边对定角”模型,接下来依托于点Q处产生的定角去寻找所对的定边,你会发现只有定边AB符合题意(注意:这里AC与BD都是动边);

下图是本题的动态图,请欣赏之:

找到了动点Q的轨迹后,“无迹问题”变得有迹可循了,进一步可以追问最值问题等,譬如:

如图15-7所示,在原题的基础上,取AB的中点N,其他条件保持不变,求NQ的最小值.

解题后反思:本题在路径长问题的基础上追加了一个最值问题,这两个问题都是在画出具体轨迹的基础上解决的,同学们要加强轨迹意识的自我培养,要有主动自问、主动寻找动点轨迹的意识,这是很基本的一种解题意识,因为但凡动点,不可能是杂乱无章的运动,一定是在一条确定的路径上运动的,当确定了路径,也就牵住了“牛鼻子”,“无迹问题”变得有迹可循了,问题也就变得简单易行了.

路径问题与最值问题一般可认为是一对“双生子”,能提出路径长问题,一般都可以继续追加最值问题;反过来,有相当一部分最值问题都可以通过确定动点的路径来解决.

另外,本题中追加的最小值问题恰好当点Q位于轨迹弧的中点处取得,这是一种“超级对称”的几何直观意识,有的时候这种几何直观更加难能可贵,哪怕猜错了也无所谓,这也是于头对我们的教诲!

再来看一道本人非常推崇的好题!

此题笔者之所以喜爱,是因为它既可以用“定边对定角”模型解决,又可以用“瓜豆原理”轻松搞定,而这两种方法在很大范围内都是普适的,是解决路径问题的两个重大法宝,尤其是后者对于路径长问题甚至可以实现“盲杀”,本文最后一个版块也会专门详细介绍!下面提供这两种解法:

解法一(“定边对定角”模型):

第一步:如图16-1,由点C是以AB为直径的半圆弧的中点易知∠APC=45°;

第二步:如图16-2,又由CQCP知△PCQ为等腰直角三角形,易得∠AQC=135°;

第三步:如图16-3,连接AC,识别到“定边AC对定角∠AQC”模型;

解题后反思:此题是一道典型的“定边对定角”最值问题,下面介绍其基本破解之道:

首先要有寻找目标动点的轨迹意识,而这就需要我们先看看该动点处是否存在确定的角,可称为“定角”,很多时候这样的定角并不唯一;

然后循着刚找到的“定角们”去看看它们对应的边有木有确定的边,可称为“定边”,一旦两者兼有,就自然形成了“定边对定角”模型;

确定了“定边对定角”模型后,就可以画出动点的轨迹弧,再确定圆心及相应的圆心角,解之即可.

解法二(“瓜豆原理”):

第一步(“导角”得等腰直角三角形):

同解法一,首先推出△PCQ为等腰直角三角形;

接下来想想从动点Q可以看成由主动点P怎么来?

此时,往往可以借助图形的常见变换,即平移、翻折、旋转以及位似的眼光去分析主、从动点间的关系;

第二步(主、从动点间的关系):

如图16-8,由“△PCQ为等腰直角三角形”易知,从动点Q可以看成主动点P绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来;

其实,有关等腰直角三角形的问题,经常可以这样看待;

第三步(主、从动点轨迹间的关系):

每一个从动点Q都是由相应的主动点P如此变换得到,这样一来,从动点Q的轨迹肯定也是由主动点P的轨迹如此变换而来,即从动点Q的轨迹是由主动点P的轨迹(即弧BC)绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来;

这是很自然的想法,跟代数里的整体思想一模一样,只不过将动点的轨迹看成了一个整体而已,属几何里的整体思想,即所谓的“捆绑思想”;

众所周知:图形的常见三大变换,即平移、翻折及旋转不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置;位似前后的图形相似,即位似后的图形与位似前的图形相似,也即位似不改变图形的形状,只改变图形的位置与大小,且其大小随位似比同比例放缩;

有了这个理论的支撑易知:从动点Q的轨迹是与主动点P的轨迹(即弧BC)全等的一段弧,这即为所谓的“种瓜得瓜种豆得豆”之说;

如何确定并画出这段弧呢?只要找到确定其圆心、半径以及相应的端点即可;

第四步(确定目标动点轨迹弧的圆心及端点):依据“捆绑思想”易知,从动点Q的轨迹弧的圆心也是由主动点P的轨迹弧(即弧BC)的圆心O绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来,如图16-9所示;

包括从动点Q的轨迹弧的两个端点也是由主动点P的轨迹弧(即弧BC)的两个端点(即点B与点C)绕着定点C按顺时针方向旋转90度而来,即为点A与点C;

最后再来一道有趣的“定边对定角”问题,让同学们再次强化对此模型的认知:

例17.如图17所示,半径为2cm,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一个动点P,过点P向半径OA作垂线,垂足为点H.设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,求内心I所经过的路径长.

简析:此题有趣,有趣在一个字,即“定”字上面,先看解析:

题目要求内心I所经过的路径长,当然要先确定动点I的轨迹啦;

回到此问题上来,因为OP是一条“动边”,并非我们要寻找的“定边”,那如何解决呢?继续我们的下一步;

第三步(“超级对称”转移边角):如图17-3,连接AI,由OI平分∠AOP结合“对称思想”易知△AOI≌△POI(SAS),从而有∠AIO=∠PIO=135°,亦为一个“定角”

从而可以识别到“定边AO对定角∠AIO”模型;

这里的边AO是确确实实的“定边”,而并非上面OP这个“伪定边”,哈哈!

解题后反思:通过本例,同学们对于“定边对定角”模型有了更深刻的认识嘛!?尤其是“定”字,不仅仅要求是边长确定,包括位置也要确定,即为真正的“定边”;

还有本题中由一个“伪定边对定价”转化成了真正的“定边对定角”,这里的转化非常漂亮,也是一种“超级对称”几何直观意识,值得大家用心揣摩!

前面说了这么多,其实主要还是围绕着板块一,即“路径之隐圆(弧)”展开的,主要介绍了“定义法”、“定边对直角”、“定边对定角”这些最基本的模型解法,其间还穿插了一些如“瓜豆原理”等有趣的解法,下面进入板块二,即路径之隐线(段)!

未完待续,敬请期待!

(第五集完!)

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