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图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，BC间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R1=1.4m．一个质量为m=1.0
网友投稿 2022-09-29 00:00:00 互联网
◎ 题目
图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，BC 间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R
1
=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以V
0
=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．计算结果保留小数点后一位数字．试求
（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L
1
应是多少；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R
2
的可变范围；
（3）小球最终停留点与起点A的距离．
◎ 答案
（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v
1
=
g
R
1
=
14
m/s
根据动能定理得
-μmgL
1
-2mgR
1
=
1
2
mv
1
2
-
1
2
mv
0
2
解得 L
1
=18.5m
（2）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v
2
，应满足
mg=m
v
22
R
2
-μmg（L
1
+L）-2mgR
2
=
1
2
mv
2
2
-
1
2
mv
0
2
由上两式解得：R
2
=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R
2
，即上升到与圆心等高的位置，
根据动能定理得
-μmg（L
1
+L）-mgR
2
=0-
1
2
mv
0
2
解得：R
2
=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R
2
最大值应满足：
(
R
1
+
R
2
)
2
=L
2
+
(
R
1
-
R
2
)
2
，
解得 R
2
=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
0＜R
2
≤0.4m 或 1.0m≤R
2
≤27.9m
（3）当0＜R
2
≤0.4m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-
1
2
mv
0
2
解得 L′=36.0m
当1.0m≤R
2
≤27.9m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则
L″=L′-2（L′-L
1
-L）=26.0m
答：
（1）如果小球恰能通过第一圆形轨道，AB间距L
1
应是18.5m；
（2）在满足（1）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R
2
的可变范围为 0＜R
2
≤0.4m 或 1.0m≤R
2
≤27.9m；
（3）小球最终停留点与起点A的距离是36m或26m．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的二个圆形轨道组成，B、C分别是二个圆形轨道的最低点，BC间距L=12.5m，第一圆形轨道半径R1=1.4m．一个质量为m=1.0…”主要考查了你对 【向心力】，【牛顿第二定律】，【动能定理】，【机械能守恒定律】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202209/260956.html
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