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曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运
网友投稿 2022-10-05 00:00:00 零零社区
◎ 题目
曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运动，后让卫星在以地球为一个焦点的椭圆轨道2上运动，最后让卫星进入同步轨道3做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，同步轨道的半径为r
0
，卫星的质量为m
0
．当质量为m的卫星离地心的距离为r时，其引力势能的表达式为E
p
=-
GMm
r
（式中M为地球质量），不计近地轨道距地面的高度．
（1）求卫星在近地轨道的线速度v
1
，和在同步轨道的线速度v
3
．
（2）卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，圆周运动的半径可用近、远地点处的曲率半径ρ（未知）来表示，求卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率”：和远地点的速率v
2
′之比．
（3）需要给卫星提供多少能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上？
◎ 答案
（1）根据万有引力提供向心力，
对于近地卫星，由于卫星贴近地球表面，则
G
Mm
R
2
=m
v
21
R
①
对于同步卫星，有
G
Mm
r
20
=m
v
23
r
0
②
又对于物体在地球表面时，万有引力近似等于重力，则有
m′g=G
Mm′
R
2
③
由①②③解得，v
1
=
gR
，v
3
=
g
R
2
r
0
（2）由题，卫星在椭圆轨道2上近地点处、远地点处的运动均可当作圆周运动处理，则得
v
1
′=v
1
，r
2
′=v
2
，
所以v
1
′：v
2
′=
gR
：
g
R
2
r
0
=
r
0
：
R
（3）卫星在椭圆轨道2上近地点处，有 引力势能为E
p1
=-
GMm
R
，动能为E
k1
=
1
2
m
v
21
=
1
2
m
?
(
gR
)
2
=
1
2
mgR
轨道3上卫星的引力势能为 E
p2
=-
GMm
r
0
，动能为E
k2
=
1
2
m
v
23
=
mg
R
2
2
r
0
设需要给卫星提供能量为E时，能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上，根据能量守恒得：
E=（E
p2
+E
k2
）-（E
p1
+E
k1
）=（-
GMm
r
0
+
mg
R
2
2
r
0
）-（-
GMm
R
+
1
2
mgR
）=-
GMm
r
0
+
mg
R
2
2
r
0
+
GMm
R
-
1
2
mgR
．
答：（1）卫星在近地轨道的线速度v
1
为
gR
，在同步轨道的线速度v
3
为
g
R
2
r
0
．
（2）卫星在轨道2上运动时经过近地点的速率v
1
′和远地点的速率v
2
′之比为
r
0
：
R
．
（3）需要给卫星提供-
GMm
r
0
+
mg
R
2
2
r
0
+
GMm
R
-
1
2
mgR
的能量才能使其从轨道2的远地点变轨到轨道3上．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“曲线上某处的曲率半径反映的是曲线的弯曲程度，曲率半径越小，说明曲线弯曲的程度越高；曲率半径相同，曲线弯曲程度相同．如图所示，发射卫星时先让卫星在近地轨道1上做圆周运…”主要考查了你对 【人造地球卫星】，【万有引力定律的其他应用】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202210/267527.html
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