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一名宇航员抵达某星球后，测得：①载人飞船环绕该星球表面n圈所用的时间为t；②摆长为l的单摆在该星球上的周期为T．已知万有引力恒量为G，不计阻力．试根据题中所提供的条件和测量
网友投稿 2022-10-06 00:00:00 零零社区
◎ 题目
一名宇航员抵达某星球后，测得：①载人飞船环绕该星球表面n圈所用的时间为t；②摆长为l的单摆在该星球上的周期为T．已知万有引力恒量为G，不计阻力．试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）环绕该星球飞行的卫星的最小周期；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度是多大？
◎ 答案
（1）载人飞船绕星球表面运动时，轨道半径最小，周期最小，
由题意知，环绕该星球飞行的卫星的最小周期T
最小
=
t
n
；
（2）设星球的质量为M，半径是R，载人飞船质量是m，载人飞船绕星球表面做圆周运动，
轨道半径等于星球半径，载人飞船绕星球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，
由牛顿第二定律得：G
mM
R
2
=m
(
2π
t
n
)
2
R，
星球质量M=
4
π
2
n
2
R
3
G
t
2
①，
星球的密度ρ=
M
V
=
4
π
2
n
2
R
3
G
t
2
4
3
π
R
3
=
3π
n
2
G
t
2
；
（3）单摆的周期T=2π
l
g
，
则星球表面的重力加速度g=
4
π
2
l
T
2
，
位于星球表面的物体m′受到的重力等于万有引力，
即：m′g=G
Mm′
R
2
，则GM=gR
2
②，
由①②得：R=
g
t
2
4
π
2
n
2
③；
卫星绕星球表面做圆周运动时，即轨道半径等于星球半径时的速度是第一宇宙速度，
万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G
Mm
R
2
=m
v
2
R
，
v=
GM
R
=
g
R
2
R
=
gR
=
g×
g
t
2
4
π
2
n
2
=g
t
2πn
=
4
π
2
l
T
2
×
t
2πn
=
2πlt
n
T
2
；
答：（1）环绕该星球飞行的卫星的最小周期是
t
n
．
（2）该星球的密度是
3π
n
2
G
t
2
．
（3）该星球的第一宇宙速度是
2πlt
n
T
2
．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“一名宇航员抵达某星球后，测得：①载人飞船环绕该星球表面n圈所用的时间为t；②摆长为l的单摆在该星球上的周期为T．已知万有引力恒量为G，不计阻力．试根据题中所提供的条件和测量…”主要考查了你对 【人造地球卫星】，【万有引力定律的其他应用】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202210/271772.html
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