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真空中均匀带电金属球壳D，半径为R，如图所示．一质量为m带电量为+q的粒子绕球壳运动，运动轨迹为一椭圆，运动周期为T，“近地点”A恰好在球壳表面附近，“远地点”B到球面的距离
网友投稿 2022-10-06 00:00:00 零零社区
◎ 题目
真空中均匀带电金属球壳D，半径为R，如图所示．一质量为m带电量为+q的粒子绕球壳运动，运动轨迹为一椭圆，运动周期为T，“近地点”A恰好在球壳表面附近，“远地点”B到球面的距离为d．带电粒子的运动不影响球壳表面的电荷分布，静电力常量为k，不计万有引力．求：
（1）球壳的带电量Q；
（2）带电粒子在球壳表面的速度多大时能飞出球壳的电场？
（3）带电粒子在球壳表面时具有的电势能．（设带电粒子在离球壳无限远处电势能为0）
◎ 答案
（1）设带电粒子在球壳表面做匀速圆周运动的周期为T
0
，球壳对带电粒子的库仑力提供向心力，有：k
Qq
R
2
=m（
2π
T
0
）
2
R …①；
椭圆轨迹的半长轴为R+
d
2
，根据开普勒第三定律有：
T
20
T
2
=
R
3
(R+
d
2
)
3
…②；
联立①②得：Q=
m
π
2
(2R+d
)
3
2kq
T
2
…③；
因带电粒子带正电，故球壳带负电：Q′=-
m
π
2
(2R+d
)
3
2kq
T
2
；
（2）带电粒子的“第一宇宙速度”：υ
1
=
2πR
T
0
…④；
带电粒子若能飞出球壳的电场，在球壳表面的速度（“第二宇宙速度”）应为：υ
2
=
2
υ
1
…⑤；
联立②④⑤得：υ
2
=
π
T
(2R+d
)
3
R
…⑥；
（3）设带电粒子在球壳表面时具有的电势能为E
P
，带电粒子在电场中运动时，动能与电势能的总和保持不变．
取带电粒子刚好能飞出球壳的电场的情况研究．
则：带电粒子在球壳表面时具有的总能量：E
1
=E
P
+
1
2
mυ
2
2
…⑦；
带电粒子刚好飞出球壳的电场时的动能为零，依题意，带电粒子飞出球壳的电场时电势能为零．
则带电粒子飞出电场时的总能量：E
2
=0…⑧；
依据能量守恒有：E
1
=E
2
…⑨；
联立⑥⑦⑧⑨解得：E
P
=-
m
π
2
(2R+d
)
3
2R
T
2
；
答：（1）球壳的带电量-
m
π
2
(2R+d
)
3
2kq
T
2
；
（2）带电粒子在球壳表面的速度υ
2
=
π
T
(2R+d
)
3
R
时能飞出球壳的电场；
（3）带电粒子在球壳表面时具有的电势能-
m
π
2
(2R+d
)
3
2R
T
2
．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“真空中均匀带电金属球壳D，半径为R，如图所示．一质量为m带电量为+q的粒子绕球壳运动，运动轨迹为一椭圆，运动周期为T，“近地点”A恰好在球壳表面附近，“远地点”B到球面的距离…”主要考查了你对 【宇宙速度】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202210/272826.html
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