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如图所示,质量为M、倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上,底部与地面的动摩擦因数为μ,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连,弹簧的另一

网友投稿  2022-10-16 00:00:00  互联网

◎ 题目

如图所示,质量为M倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上,底部与地面的动摩擦因数为μ,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为时将物块由静止开始释放,且物块在以后的运动中,斜面体始终处于静止状态。重力加速度为

(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度;
(2)选物块的平衡位置为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标轴,用x表示物块相对于平衡位置的位移,证明物块做简谐运动;
(3)求弹簧的最大伸长量;
(4)为使斜面始终处于静止状态,动摩擦因数μ应满足什么条件(假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力)?

◎ 答案

(1) (2)见解析(3) (4)

◎ 解析

(1)设物块处于平衡位置时弹簧的伸长量为Δl,则
,解得
所以此时弹簧的长度为
(2)当物块相对平衡位置的位移为x时,弹簧的伸长量为x+Δl,物块所受合力(即回复力)
F=,联立以上各式,F=-kx,由此可知该物块做简谐运动。
(3)该物块做简谐运动的振幅为,由简谐运动的对称性可知,弹簧的最大伸长量

(4)设物块位移x为正,对斜面受力分析如图所示。

由于斜面受力平衡,则有
在水平方向上有:f+FN1sinα-Fcosα=0;在竖直方向上有:FN2Mg-Fsinα-FN1cosα=0
F=FN1=mgcosα
联立可得f=kxcosαFN2=Mg+mg+kxsinα
为使斜面始终处于静止状态,结合牛顿第二定律,应满足,所以
当x=-A时,上式右端达到最大值,于是有
μ
【另解】对由斜面、物块、弹簧组成的系统受力分析,受重力(Mmg、地面的支持力N和水平方向的静摩擦力f作用,如图所示。

建立图示直角坐标系,根据牛顿第二定律可知:
在水平方向上有:f=M×0+macosα;在竖直方向上有:N-(Mmg=M×0+masinα
其中,静摩擦力ffmμNa==-(-AxA),
联立以上各式,解得:μ

◎ 知识点

    专家分析,试题“如图所示,质量为M、倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上,底部与地面的动摩擦因数为μ,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连,弹簧的另一…”主要考查了你对  【弹力的大小、胡克定律】  等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”,你可以点击相应的链接进行查看和学习。



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