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如图所示，竖直平面内有一半径R=0.9m、圆心角为60°的光滑圆弧轨道PM，圆弧轨道最底端M处平滑连接一长s=3m的粗糙平台MN，质量分别为mA=4kg，mB=2kg的物块A，B静置于M点，它们
网友投稿 2022-10-29 00:00:00 互联网
◎ 题目
如图所示，竖直平面内有一半 径R=0.9m、圆心角为60°的光滑圆弧 轨道PM，圆弧轨道最底端M处平滑 连接一长s=3m的粗糙平台MN，质 量分别为m
A
=4kg，m
B
=2kg的物块 A，B静置于M点，它们中间夹有长 度不计的轻质弹簧，弹簧与A连结，与B不相连，用细线拉紧A、B使弹簧处于压缩状态．N端有一小球C，用长为L的轻 绳悬吊，对N点刚好无压力．现烧断细线，A恰好能从P端滑出，B与C碰后总是交换速度．A、B、C均可视为质点，g取10m/s
2
，问：
（1）A刚滑上圆弧时对轨道的压力为多少？
（2）烧断细线前系统的弹性势能为多少？
（3）若B与C只能碰撞2次，B最终仍停在平台上，整个过程中绳子始终不松弛，求B与 平台间动摩擦因数μ的范围及μ取最小值时对应的绳长L．
◎ 答案
（1）A在上滑过程中机械能守恒，有
1
2
m
v
2A
=mgR（1-cos60°）
v
A
=3m/s
根据牛顿运动定律
N-m
A
g=m
A
v
2A
R
N=80N
由牛顿第三定律得，A对圆弧的压力为80N，方向竖直向下．
（2）由动量守恒得：
m
A
v
A
=m
B
v
B
由能量守恒得
E
p
=
1
2
m
A
v
2A
+
1
2
m
B
v
2B
得：E
p
=54J
（3）因B、C碰后速度交换，B静止，C做圆周运动，绳子不能松弛，一种情况是越过最高点，继续做圆周运动，
与B碰撞，B一定离开平台，不符合要求．另一种情况是C做圆周运动不超过
1
4
圆周，返回后再与B发生碰撞．
B刚好能与C发生第一次碰撞
0-
1
2
m
B
v
2B
=-μm
B
gs
解得 μ=0.6
依题意有 μ＜0.6
B与C刚要发生第三次碰撞，则
0-
1
2
m
B
v
2B
=-3μm
B
gs
解得 μ=0.2
依题意有 μ＞0.2
B与C发生两次碰撞后不能从左侧滑出
0-
1
2
m
B
v
2B
=-2μm
B
gs-m
B
gR（1-cos60°）
解得 μ=0.225
依题意有 μ≥0.225
综上所得 0.225≤μ＜0.6
取μ=0.225，B与C碰撞后，C的速度最大，要绳不松弛，有：
1
2
m
B
v
2B1
-
1
2
m
B
v
2B
=-μm
B
gs
v
B1
=v
C
1
2
m
C
v
2C
=m
C
gL
解得：L=1.125m
依题意：L≤1.125m
答：（1）A刚滑上圆弧时对轨道的压力为80N
（2）烧断细线前系统的弹性势能是54J
（3）若B与C只能碰撞2次，B最终仍停在平台上，整个过程中绳子始终不松弛，B与平台间动摩擦因数μ的范围是 0.225≤μ＜0.6，
μ取最小值时对应的绳L=1.125m．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图所示，竖直平面内有一半径R=0.9m、圆心角为60°的光滑圆弧轨道PM，圆弧轨道最底端M处平滑连接一长s=3m的粗糙平台MN，质量分别为mA=4kg，mB=2kg的物块A，B静置于M点，它们…”主要考查了你对 【向心力】，【牛顿第二定律】，【牛顿第三定律】，【机械能守恒定律】，【动量守恒定律】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202210/341566.html
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