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一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可
网友投稿 2022-11-05 00:00:00 零零社区
◎ 题目
一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，如图所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动，已知管筒半径r=0.100m，井的半径R=2r，水的密度ρ=1.00×10
3
kg/m
3
，大气压ρ
0
=1.00×10
5
Pa．求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功．（井和管在水面以上及水面以下的部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s
2
．）
◎ 答案
从开始提升到活塞升至内外水面高度差为
h
0
=
P
0
ρg
=10m
的过程中，活塞始终与管内液体接触．（再提升活塞时，活塞和水面之间将出现真空，另行讨论．）设活塞上升距离为h
1
，管外液面下降距离为h
2
，有：h
0
=h
1
+h
2
因液体体积不变，有：
h
2
=
h
1
(
π
r
2
π
R
2
-π
r
2
)=
1
3
h
1
得：
h
1
=
3
4
h
0
=
3
4
×10m=7.5m
题给H=9m＞h
1
，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程．
活塞移动距离从零到h
1
的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功．因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即
△E=ρ(π
r
2
h
1
)g
h
0
2
其它力有管内、外的大气压力和拉力F．因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功
P
0
π(
R
2
-
r
2
)
h
2
-
P
0
π
r
2
h
1
=0
，故外力做功就只是拉力F做的功，由功能关系知
W
1
=△E
即
W
1
=ρ(π
r
2
)g
3
8
h
20
=
3
8
π
r
2
P
20
ρg
=1.18×
10
4
J
活塞移动距离从h
1
到H的过程中，液面不变，F是恒力F=πr
2
P
0
，做功
w
2
=F(H-
h
1
) =π
r
2
P
20
(H-
h
1
)=4.71×
10
3
J
所求拉力F做的总功为：W
1
+W
2
=1.65×10
4
J．
答：活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功为1.65×10
4
J．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的，在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底．在圆管内有一不漏气的活塞，它可…”主要考查了你对 【重力势能】，【功能关系】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202211/357020.html
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