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过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半
网友投稿 2022-11-05 00:00:00 零零社区
◎ 题目
过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R
1
=2.0m、R
2
=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v
0
=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L
1
=6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g=10m/s
2
，计算结果保留小数点后一位数字．试求
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R
3
应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离．
◎ 答案
（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v
1
根据动能定理得：
-μmgL
1
-2mgR
1
=
1
2
mv
1
2
-
1
2
mv
0
2
①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律有：
F+mg=m
v
21
R
1
②
由 ①、②得 F=10.0 N ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v
2
，由小球恰能通过第二圆形轨道有：
mg=m
v
22
R
2
④
-μmg（L
1
+L）-2mgR
2
=
1
2
mv
2
2
-
1
2
mv
0
2
⑤
由④、⑤得 L=12.5m ⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v
3
，应满足
mg=m
v
23
R
3
⑦
-μmg（L
1
+2L）-2mgR
3
=
1
2
mv
3
2
-
1
2
mv
0
2
⑧
由 ⑥、⑦、⑧得 R
3
=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R
3
，根据动能定理
-μmg（L
1
+2L）-2mgR
3
=0-
1
2
mv
0
2
解得 R
3
=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R
3
最大值应满足
（R
2
+R
3
）
2
=L
2
+（R
3
-R
2
）
2
解得 R
3
=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
0＜R
3
≤0.4m或 1.0m≤R
3
≤27.9m
当0＜R
3
≤0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-
1
2
mv
0
2
L′=36.0m
当1.0m≤R
3
≤27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L〞，则
L″=L′-2（L′-L
1
-2L）=26.0m
答：（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小为10.0N；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是12.5m；
（3）第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 0＜R
3
≤0.4m或 1.0m≤R
3
≤27.9m
当0＜R
3
≤0.4m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为36.0m
当1.0m≤R
3
≤27.9m时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为26.0m．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半…”主要考查了你对 【牛顿第二定律】，【动能定理】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202211/363060.html
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