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如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后
网友投稿 2022-11-05 00:00:00 零零社区
◎ 题目
如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后又正好落回A点：
（1）求推力对小球所做的功．
（2）x取何值时，完成上述运动所做的功最少？最小功为多少．
（3）x取何值时，完成上述运动用力最小？最小力为多少．
◎ 答案
（1）由题意，质点从半圆弧轨道做平抛运动又回到A点，设质点在C点的速度为v
C
，质点从C点运动到A点所用的时间为t，则
在水平方向：x=v
C
t ①
竖直方向上：2R=
1
2
gt
2
②
解①②有 v
C
=
x
2
g
R
③
对质点从A到C，由动能定理有
W
F
-mg?2R=
1
2
m
v
2C
④
解得 W
F
=
mg(16
R
2
+
x
2
)
8R
⑤
（2）要使F力做功最少，确定x的取值，由④式得 W
F
=mg?2R+
1
2
m
v
2C
，则知，只要质点在C点速度最小，则功W
F
就最小．
若质点恰好能通过C点，其在C点最小速度为v，
由牛顿第二定律有
mg=
m
υ
2
R
，则 v=
Rg
⑥
由③⑥有
x
2
g
R
=
Rg
，解得x=2R时，W
F
最小，最小的功W
F
=mg?2R+
1
2
m
v
2C
=
5
2
mgR．
（3）由⑤式W
F
=mg（
16
R
2
+
x
2
8R
），W=Fx
则得 F=
1
8
mg（
16R
x
+
x
R
）
因
16R
x
＞0，x＞0，
由极值不等式有
当
16R
x
=
x
R
时，即x=4R时，
16R
x
+
x
R
=8，最小的力F=mg．
答：（1）推力对小球所做的功是
mg(16
R
2
+
x
2
)
8R
．
（2）x等于2R时，完成上述运动所做的功最少，最小功为
5
2
mgR．
（3）x取4R时，完成上述运动用力最小，最小力为mg．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图所示，光滑水平面右端B处连接一个竖直的半径为R的光滑半圆轨道，在离B距离为x的A点，用水平恒力将质量为m的质点从静止开始推到B处后撤去恒力，质点沿半圆轨道运动到C处后…”主要考查了你对 【向心力】，【牛顿第二定律】，【动能定理】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202211/363080.html
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