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过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R1
网友投稿 2022-11-05 00:00:00 互联网
◎ 题目
过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R
1
=2.0m，以后各个圆轨道半径均是前一轨道半径的k倍（k=0.8），相邻两最低点间的距离为两点所在圆的半径之和．一个质量m=1.0kg的物块（视为质点），从第一圆轨道的左侧沿轨道向右运动，经过A点时的速度大小为v
0
=12m/s．已知水平轨道与物块间的动摩擦因数μ=0.5，水平轨道与圆弧轨道平滑连接． g取10m/s
2
，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．试求：
（1）物块经过第一轨道最高点时的速度大小；
（2）物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小；
（3）物块能够通过几个圆轨道？
◎ 答案
（1）设经第一个轨道最高点的速度为v，由机械能守恒有
1
2
m
v
20
=
1
2
m
v
2
+2mg
R
1
即有
v=
v
20
-4g
R
1
=
12
2
-4×10×2
=8m/s
故物块经过第一轨道最高点时的速度大小为8m/s．
（2）设物块经B点时的速度为v
B
，从A到B的过程由动能定理，
-μmg(
R
1
+
R
2
)=
1
2
m
v
2B
-
1
2
m
v
20
对物块经B点受力分析，由向心力公式有
F
N
-mg=m
v
2B
R
2
联立两式解得
N=mg+m
v
20
-2μg(
R
1
+
R
2
)
R
2
=10+1×
12
2
-2×0.5×10×(2+1.6)
1.6
=77.5N
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为77.5N．
故物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小为77.5N．
（3）设物块恰能通过第n个轨道，它通过第n个轨道的最高点时的速度为v
n
，有
m
v
2n
R
n
≥mg
对物块从A到第n个轨道的最高点的全过程由动能定理得
-μmg[(
R
1
+
R
2
)+(
R
2
+
R
3
)+…(
R
n-1
+
R
n
)]-2mg
R
n
=
1
2
m
v
2n
-
1
2
m
v
20
又因为 R
n
=k
n-1
R
1
=0.8
n-1
R
1
由以上三式可整理得v
0
2
-2μg[（R
1
+R
2
+…+R
n-1
）+（R
2
+R
3
+…+R
n
）]≥5gR
n
即
v
20
-2μg[
R
1
(1-
k
n-1
)
1-k
+
R
2
(1-
k
n-1
)
1-k
]=
v
20
-2μg
R
1
(1+k)(1-
k
n-1
)
1-k
≥5g
k
n-1
R
1
将v
0
=12m/s，μ=0.5，R
1
=2m，k=0.8，g=10m/s
2
代入上式，整理得0.8
n-1
≥0.45，
即有
(n-1)≤
lg0.45
lg0.8
≈3.6
，解得 n≤4.6
故物块共可以通过4个圆轨道．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R1…”主要考查了你对 【牛顿第三定律】，【动能定理】，【机械能守恒定律】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202211/364143.html
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