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如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F（未知）将质量为m的物块（可视为质点），从静止开始推到B处，且
网友投稿 2022-11-05 00:00:00 零零社区
◎ 题目
如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F（未知）将质量为m的物块（可视为质点），从静止开始推到B处，且物块到B处时立即撤去恒力F，物块沿半圆轨道运动到轨道最高点C处后，又正好落回A点．已知重力加速度为g．求：
（1）水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系；
（2）x取何值时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为多少；
（3）x取何值时，完成上述运动水平恒力F最小，最小的力为多大．
◎ 答案
（1）设物块在C点的速度为v
c
，物块从C点运动到A点所用时间为t，物块从半圆弧轨道的最高点C点做平抛运动落到A点．根据平抛运动规律有：
x=v
c
t，2R=
1
2
g
t
2
解得：v
c
=
x
2
g
R
设物块从A到B的运动过程中，水平但力F对物块所做的功为W，对于物块从A到C的运动过程，根据动能定理有：
W-mg?2R=
1
2
m
v
2c
解得：W=2mgR+
mg
x
2
8R
（2）物块恰好通过最高点C时，在C点有最小速度v
min
，根据牛顿第二定律有：
mg=m
v
2min
R
解得：v
min
=
gR
此时所对应的水平恒力对物体所做的功最少，且有v
c
=
x
2
g
R
=
gR
解得：x=2R
所以，当x=2R时恒力F所做的功最少．
将x=2R 代入第（1）问的结果中，解得最小功W=
5
2
mgR
（3）W=Fx，第（1）问讨论可知：Fx=2mgR+
mg
x
2
8R
解得：F=
2mgR
x
+
mgx
8R
因等式右端两项之积为恒量，所以当两项相等时其和有极小值．
由=
2mgR
x
=
mgx
8R
，得x=4R 时水平恒力F最小．
解得最小力F
min
=mg
答：（1）水平恒力F对物块所做的功与物块在光滑水平轨道运动的位移x的关系为W=2mgR+
mg
x
2
8R
；
（2）当x=2R时，完成上述运动水平恒力F对物块所做的功最少，功的最小值为
5
2
mgR
；
（3）当x=4R时，完成上述运动水平恒力F最小，最小的力为mg．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图所示，光滑水平轨道右端B处平滑连接着一个在竖直面内、半径为R的光滑半圆轨道，在距离B为x的A点，用水平恒力F（未知）将质量为m的物块（可视为质点），从静止开始推到B处，且…”主要考查了你对 【平抛运动】，【牛顿第二定律】，【动能定理】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202211/364332.html
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