(1)设每个小球质量为m,以u
1、u
2分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度,由动量守恒和能量守恒定律有
mu
1+mu
2=mu
0(以向右为速度正方向)
mu
12+
mu
22=
mu
02解得u
1=u
0,u
2=0或u
1=0,u
2=u
0由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中,弹簧一直是压缩状态,弹力使左端小球持续减速,使右端小球持续加速,因此应该取解析u
1=0,u
2=u
0.
(2)以v
1、v
1′分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度,规定向右为速度的正方向,由动量守恒和能量守恒定律
mv
1+mv
1′=0
mv
12+
mv
1′
2=E
0解得v
1=
,v
1′=-
或v
1=-
,v
1′=
.
在这一过程中,弹簧一直是压缩状态,弹性力使左端小球向左加速,右端小球向右加速,故应取解析
v
1=-
,v
1′=
振子1与振子2碰撞后,由于交换速度,振子1右端小球速度变为0,左端小球速度仍为v
1.此后两小球都向左运动,当它们向左的速度相同时,弹簧被拉伸至最长,弹性势能最大,设此速度为v
10,根据动量守恒定律:
2mv
10=mv
1用E
1表示最大弹性势能,由能量守恒有
mv
102+
mv
102+E
1=
mv
12解得E
1=
E
0振子2被碰撞后瞬间,左端小球速度为
,右端小球速度为0.以后弹簧被压缩,当弹簧再恢复到自然长度时,根据(1)题结果,左端小球速度v
2=0,右端小球速度v
2′=
,与振子3碰撞,由于交换速度,振子2右端小球速度变为0,振子2静止,弹簧为自然长度,弹性势能为E
2=0.
同样分析可得
E
2=E
3=…=E
N-1=0
振子N被碰撞后瞬间,左端小球速度v
N-1′=
,右端小球速度为0,弹簧处于自然长度.此后两小球都向右运动,弹簧被压缩,当它们向右的速度相同时,弹簧被压缩至最短,弹性势能最大.设此速度为v
N0,根据动量守恒定律,
2mv
N0=mv
N-1′
用E
N表示最大弹性势能,根据能量守恒,有
mv
N02+
mv
N02+E
N=
mv
N-12解得E
N=
E
0.