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带电粒子在匀强磁场中的运动
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如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10-2kg，电荷量q=0.2C．将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20m/s竖直向下射出小球
网友投稿 2023-04-06 00:00:00 互联网
◎ 题目
如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10
-2
kg，电荷量q=0.2C．将弹簧拉至水平后，以初速度V
0
=20m/s竖直向下射出小球P，小球P到达O点的正下方O
1
点时速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O
1
相距R=1.5m，小球P在O
1
点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量M=1.6×10
-1
kg的静止绝缘小球N相碰．碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的弱强磁场．此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5m的圆周运动．小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10m/s
2
．那么，
（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？
（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度．
（3）若题中各量为变量，在保证小球P、N碰撞后某一时刻具有相同速度的前提下，请推导出r的表达式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ为小球N的运动速度与水平方向的夹角）．
◎ 答案
（1）设弹簧的弹力做功为W，有：
mgR+W=
1
2
m
v
2
-
1
2
m
v
20
①
代入数据，得：W=-2.05J ②
（2）由题给条件知，N碰后作平抛运动，P所受电场力和重力平衡，P带正电荷．设P、N碰后的速度大小分别为v
1
和V，
并令水平向右为正方向，有：mv=±mv
1
+MV③
而：
v
1
=
Bqr
m
④
若P、N碰后速度同向时，计算可得V＜v
1
，这种碰撞不能实现．P、N碰后瞬时必为反向运动．有：
V=
mv+Bqr
M
⑤
P、N速度相同时，N经过的时间为t
N
，P经过的时间为t
P
．设此时N的速度V
1
的方向与水平方向的夹角为θ，
有：
cosθ=
V
V
1
=
V
v
1
⑥
gt
N
=V
1
sinθ=v
1
sinθ⑦
代入数据，得：
t
N
=
3
4
s
⑧
对小球P，其圆周运动的周期为T，有：
T=
2πm
Bq
⑨
经计算得：t
N
＜T，
P经过t
P
时，对应的圆心角为α，有：
t
P
=
α
2π
T
⑩
当B的方向垂直纸面朝外时，P、N的速度相同，如图可知，有：α
1
=π+θ
联立相关方程得：
t
P
1
=
2π
15
s
比较得，t
N
≠t
P1
，在此情况下，P、N的速度在同一时刻不可能相同．
当B的方向垂直纸面朝里时，P、N的速度相同，同样由图，有：a
2
=π-θ，
同上得：
t
P2
=
π
15
，
比较得，t
N
≠t
p2
，在此情况下，P、N的速度在同一时刻也不可能相同．
（3）当B的方向垂直纸面朝外时，设在t时刻P、N的速度相同，t
N
=t
P
=t，
再联立④⑦⑨⑩解得：
r=
[(2n+1)π+θ]
m
2
g
B
2
q
2
sinθ
(n=0，1，2…)
当B的方向垂直纸面朝里时，设在t时刻P、N的速度相同t
N
=t
P
=t，
同理得：
r=
(π-θ)
m
2
g
B
2
q
2
sinθ
，
考虑圆周运动的周期性，有：
r=
[(2n+1)π+θ]
m
2
g
B
2
q
2
sinθ
(n=0，1，2…)
（给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．
答：（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为-2.05J；（2）小球P、N碰撞后不能在某一时刻具有相同的速度；（3）
r=
[(2n+1)π+θ]
m
2
g
B
2
q
2
sinθ
(n=0，1，2…)
（给定的B、q、r、m、θ等物理量决定n的取值）．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小球P，其质量m=2×10-2kg，电荷量q=0.2C．将弹簧拉至水平后，以初速度V0=20m/s竖直向下射出小球…”主要考查了你对 【平抛运动】，【动能定理】，【带电粒子在匀强磁场中的运动】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202304/441165.html
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