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带电粒子在匀强磁场中的运动
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如图甲所示，两平行金厲板A，B的板长L=0.2m，板间距d=0.2m．两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应．在金属板上侧有方向垂直于纸
网友投稿 2023-04-06 00:00:00 互联网
◎ 题目
如图甲所示，两平行金厲板A，B的板长L=0.2m，板间距d=0.2m．两金属板 间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应．在金 属板上侧有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，其上下宽度D=0.4m，左右范围足够大，边界MN和PQ均与金属板垂直，匀强磁场的磁感应强度B=1x 1O-2T．在极板下侧中点O处有一粒子源，从t=0时起不断地沿着00'发射比荷
q
m
=1x108C/kg、初速度v0=2x 105m/s的带正电粒子．忽略粒子重力、粒子间相互作用以及粒子在极板间飞行时极 板间的电压变化．sin30=0.5，sin37=0.6，sin45=
2
2
．
（1）求粒子进入磁场时的最大速率
（2）对于在磁场中飞行时间最长的粒子，求出其在磁场中飞行的时间以及由0点出发 的可能时刻．
（3）对于所有能从MN边界飞出磁场的粒子，试求这些粒子在MN边界上出射区域的宽度．
◎ 答案
（1）设粒子恰从金属板边缘飞出时，AB两板间的电压为U
0
，由运动学公式及牛顿第二定律得：
1
2
d=
1
2
a
1
t
2
qE
1
=ma
1
E
1
=
U
0
d
t=
L
v
0
联立以上各式，解得，U
0
=400V＜500V
设粒子进入磁场时的最大速率为v
m
，由动能定理得
q?
1
2
U
0
=
1
2
m
v
2m
-
1
2
m
v
20
解得，v
m
=2
2
×10
5
m/s
（2）分析可知，在磁场中飞行时间最长的粒子，其运动轨迹应在电场中向B板偏转，在磁场中恰好与上边界相切，如图所示，设粒子进入磁场时，速度v与OO′成θ角，在磁场中运动时间为
t
m
，由牛顿第二定律、平行四边形定则、几何关系及运动学公式得
qvB=m
v
2
R
v=
v
0
cosθ
R（1+sinθ）=D
T=
2πm
qB
t
m
=
180°+2θ
360°
?T
联立上述各式，解得，θ=37°，t
m
=
127
90
π×1
0
-6
s
≈4.43×10
-6
s
设这些粒子进入磁场时在垂直于金属板方向的速度为v
y
，对应AB两板间的电压为U
1
，在电场中运动的时间为t
1
，由O点出发的可能时间为t，则有
v
y
=v
0
tanθ
v
y
=a
2
t
1
qE
2
=ma
2
E
2
=
U
1
d
联立解得，U
1
=300V
结合U
AB
-t图象可得，当U
1
=300V时，在一个周期内对应的时刻为：t
0
=0.4s或3.6s，因为电压的周期为T=4s，所以粒子在O点出发可能时刻为
t=nT+t
0
即 t=（4n+0.4）s或（4n+3.6）s，其中 n=0，1，2，…
（3）对于所有能从MN边界飞出磁场的粒子，射出时都集中在电压U
1
=+300V时和电压U
2
=-400V时射出点CG之间的范围内，如图所示．
对于电压U
1
=+300V射出的粒子，设O′D=y，则由运动学公式和牛顿第二定律得
y=
1
2
a
2
t
21
qE
2
=ma
2
，
E
2
=
U
1
d
解得，y=0.075m
由第（2）问，该粒子在磁场中的运动半径为R，射出电场时速度v与OO′成θ角．设在MN边界上的射出点C和射入点D之间的距离为s
1
，根据牛顿第二定律、平行四边形定则和几何关系得
qvB=m
v
2
R
v=
v
0
cosθ
s
1
=2Rcosθ
联立解得，s
1
=0.4m．
同理可知，对于U
2
=-400V时射出的粒子，GH间的距离为s
2
为：s
2
=
2m
v
0
qB
设在MN边界是粒子出射区域的宽度为L，由几何关系可知：
L=
s
2
+
1
2
d+y-
s
1
代入解得，L=0.175m
答：（1）粒子进入磁场时的最大速率是2
2
×10
5
m/s．
（2）对于在磁场中飞行时间最长的粒子，在磁场中飞行的时间是4.43×10
-6
s，由0点出发的可能时刻是t=（4n+0.4）s或（4n+3.6）s，其中 n=0，1，2，…．
（3）对于所有能从MN边界飞出磁场的粒子在MN边界上出射区域的宽度是0.175m．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图甲所示，两平行金厲板A，B的板长L=0.2m，板间距d=0.2m．两金属板间加如图乙所示的交变电压，并在两板间形成交变的匀强电场，忽略其边缘效应．在金属板上侧有方向垂直于纸…”主要考查了你对 【向心力】，【牛顿第二定律】，【动能定理】，【带电粒子在匀强磁场中的运动】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202304/441221.html
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