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带电粒子在匀强磁场中的运动
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如图甲所示，x方向足够长的两个条形区域，其y方向的宽度分别为l1=0.1m和l2=0.2m，两区域分别分布着磁感应强度为B1和B2的磁场，磁场方与xy平面垂直向里，磁感应强度B2=0.1
网友投稿 2023-04-06 00:00:00 零零社区
◎ 题目
如图甲所示，x方向足够长的两个条形区域，其y方向的宽度分别为l
1
=0.1m和l
2
=0.2m，两区域分别分布着磁感应强度为B
1
和B
2
的磁场，磁场方与xy平面垂直向里，磁感应强度B
2
=0.1T，B
1
随时间变化的图象如图乙所示．现有大量粒子从坐标原点O以恒定速度v=2×10
6
m/s不断沿y轴正方向射入磁场，已知带电粒子的电量q=-2×10
-8
C，质量m=4×10
-16
kg，不考虑磁场变化产生的电场及带电粒子的重力．求：
（1）在图乙中0～1s内，哪段时间从O发射的粒子能进入磁感应强度B
2
的磁场？
（2）带电粒子打在磁场上边界MN上的x坐标范围是多少？
（3）在MN以下整个磁场区域内，单个带电粒子运动的最长时间和最短时间分别是多少？
◎ 答案
（1）粒子在B
1
磁场中运动时间极短，可视这极短时间内的磁场为恒定的匀强磁场，带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有
qv
B
1
=m
v
2
r
，当r=l
1
时，
B
1
=
mv
q
l
1
，代入数据得
B
1
=0.4T．
由右图可知，当B
1
=0.4T时，
t=t′=0.8s
因此，0～0.8s时间内B
1
的值小于0.4T，粒子运动半径大于l
1
，这段时间从O发射的粒子将进入磁感应强度B
2
的区域．
（2）设粒子在B
2
磁场中运动的半径为r
2
，当B
1
=0时，粒子打在MN上的A
1
点为最左边的点．根据牛顿运动定律得
qv
B
2
=m
v
2
r
2
，
代入数据解得
r
2
=
mv
q
B
2
=0.4m
如右图几何关系可知
sin
θ
1
=
l
2
r
2
=0.5
A
1
点的横坐标为
x
1
=r
2
-r
2
cosθ
1
=
(0.4-0.2
3
)
m
下图中，若A
2
为最右边点，则A
2
为轨迹与边界MN的切点．过C
1
点作速度方向的垂线，O
1
为带电粒子在磁场B
1
中运动的圆心，O
2
为在磁场B
2
中运动的圆心．由几何知识可得：
O
2
C
2
=r
2
-（l
1
+l
2
）=0.1m
sin
θ
2
=
l
1
+
O
2
C
2
r
2
=0.5
，即θ
2
=30°，
由此可得A
2
点的横坐标x
2
为：x
2
=r
1
（1-cosθ
2
）+r
2
cosθ
2
由几何知识可知此时r
1
=0.2m
解得：
x
2
=(0.2+0.3
3
)m
（3）粒子轨迹与MN相切时，粒子在磁场中运动轨迹最长，时间也最长．由于粒子在磁场中做匀速圆周运动，且轨迹左右对称，则粒子在磁场B
1
中的运动时间为
t
1
=2×
θ
2
r
1
v
=
π
3
×1
0
-7
s
粒子在磁场B
2
中的运动时间为：
t
2
=2
(
π
2
-
θ
2
)
r
2
v
=
4π
3
×10
-7
s
带电粒子在磁场中运动的最长时间为t
max
=t
1
+t
2
=5.2×10
-7
s
随着磁场B
1
逐渐增大，带电粒子在磁场中的运动时间先增大后减小，当B
1
达到最大值时，运动半径为
r
1min
=
mv
q
B
max
=0.08m＜0.1m
此时带电粒子在B
1
磁场中运动的时间为
t
1
/
=
πm
q
B
1
=
2π
5
×1
0
-7
s
若B
1
=0时，带电粒子在B
1
、B
2
磁场中运动的总时间为
t
2
/
=
l
1
v
+
θ
1
m
q
B
1
=1.55×1
0
-7
s＞
t
1
/
所以带电粒子在磁场中的最短运动时间为
t
1
′=1.26×10
-7
s
答：（1）0～0.8s时间内B
1
的值小于0.4T，粒子运动半径大于l
1
，这段时间从O发射的粒子将进入磁感应强度B
2
的区域；
（2）带电粒子打在磁场上边界MN上的x坐标范围是
(0.4-0.2
3
)m
到
x
2
=(0.2+0.3
3
)m
之间；
（3）在MN以下整个磁场区域内，单个带电粒子运动的最长时间和最短时间分别是5.2×10
-7
s，1.26×10
-7
s
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图甲所示，x方向足够长的两个条形区域，其y方向的宽度分别为l1=0.1m和l2=0.2m，两区域分别分布着磁感应强度为B1和B2的磁场，磁场方与xy平面垂直向里，磁感应强度B2=0.1…”主要考查了你对 【带电粒子在匀强磁场中的运动】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202304/441411.html
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