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带电粒子在匀强磁场中的运动
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如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场．在坐标原点O处放置一带电微粒发
网友投稿 2023-04-06 00:00:00 互联网
◎ 题目
如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场．在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速为v
0
的带电粒子．已知重力加速度大小为g．
（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动．求电场强度和磁感应强度的大小和方向．
（2）调节坐标原点．处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v
0
沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示．现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积．
◎ 答案
（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O处沿y轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡．设电场强度大小为E，由平衡条件得：
mg=qE
∴E=
mg
q
电场方向沿y轴正方向
带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R．
设匀强磁场的磁感应强度大小为B．由牛顿第二定律得：
qv
0
B=m
v
0
2
R
∴B=
m
v
0
qR
磁场方向垂直于纸面向外
（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x轴承夹角θ，
则θ满足0≤θ＜
π
2
，由于带电微粒最终将沿x轴正方向运动，
故B应垂直于xoy平面向外，带电微粒在磁场内做半径为
m
v
0
qB
匀速圆周运动．
由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，
它们所对应的运动的轨迹如图所示
为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x轴正方向运动．
由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场．这样磁场边界上P点的坐标P（x，y）应满足方程：
x=Rsinθ，
y=R（1-cosθ），
所以磁场边界的方程为：
x
2
+（y-R）
2
+R
2
由题中0≤θ＜
π
2
的条件可知
以θ→
π
2
的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹
（x-R）
2
+y
2
=R
2
即为所求磁场的另一侧的边界．
因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆
x
2
+（y-R）
2
=R
2
与圆（x-R）
2
+y
2
=R
2
的
交集部分（图中阴影部分）．
由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：
S
min
=（
π
2
-1）
m
2
v
0
2
q
2
B
2
=（
π
2
-1）R
2
．
答：（1）电场强度的大小为
mg
q
方向沿y轴正方向；磁感应强度的大小为
m
v
0
qR
，方向垂直纸面向外．
（2）匀强磁场的分布区域如图所示，求出符合条件的磁场区域的最小面积为（
π
2
-1）R
2
．．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场．在坐标原点O处放置一带电微粒发…”主要考查了你对 【带电粒子在匀强磁场中的运动】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
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