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导体切割磁感线时的感应电动势
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如图1所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为L2的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差L2的水平面上．以弧形导轨的末端点O为
网友投稿 2023-04-18 00:00:00 互联网
◎ 题目
如图1所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为
L
2
的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差
L
2
的水平面上．以弧形导轨的末端点O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立Ox坐标轴．圆弧导轨所在区域无磁场；左段区域存在空间上均匀分布，但随时间t均匀变化的磁场B（t），如图2所示；右段区域存在磁感应强度大小不随时间变化，只沿x方向均匀变化的磁场B（x），如图3所示；磁场B（t）和B（x）的方向均竖直向上．在圆弧导轨最上端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，金属棒由静止开始下滑时左段磁场B（t）开始变化，金属棒与导轨始终接触良好，经过时间t
0
金属棒恰好滑到圆弧导轨底端．已知金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）求金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E；
（2）如果根据已知条件，金属棒能离开右段磁场B（x）区域，离开时的速度为v，求金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q；
（3）如果根据已知条件，金属棒滑行到x=x
1
位置时停下来，
a．求金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q；
b．通过计算，确定金属棒在全部运动过程中感应电流最大时的位置．
◎ 答案
（1）由图2可知，
△B
△t
=
B
0
t
0
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势
E=
△Φ
△t
=
L
2
△B
△t
=
L
2
B
0
t
0
①
（2）金属棒在弧形轨道上滑行过程中，产生的焦耳热
Q
1
=
U
2
R
t=
L
4
B
20
R
t
0
金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据机械能守恒定律
mg
L
2
=
1
2
m
v
20
②
金属棒在水平轨道上滑行的过程中，产生的焦耳热为Q
2
，
根据能量守恒定律
Q
2
=
1
2
m
v
20
-
1
2
m
v
2
=mg
L
2
-
1
2
m
v
2
所以，金属棒在全部运动过程中产生的焦耳热
Q=
Q
1
+
Q
2
=
L
4
B
20
R
t
0
+mg
L
2
-
1
2
m
v
2
（3）a．根据图3，x=x
1
（x
1
＜x
0
）处磁场的磁感应强度
B
1
=
B
0
(
x
0
-
x
1
)
x
0
．
设金属棒在水平轨道上滑行时间为△t．由于磁场B（x）沿x方向均匀变化，根据法拉第电磁感应定律△t时间内的平均感应电动势
.
E
=
△Φ
△t
=
L
x
1
B
0
+
B
1
2
△t
=
B
0
L
x
1
(2
x
0
-
x
1
)
2
x
0
△t
所以，通过金属棒电荷量
q=
.
I
△t=
.
E
R
△t=
B
0
L
x
1
(2
x
0
-
x
1
)
2
x
0
R
b．金属棒在弧形轨道上滑行过程中，根据①式，
I
1
=
E
R
=
L
2
B
0
R
t
0
金属棒在水平轨道上滑行过程中，由于滑行速度和磁场的磁感应强度都在减小，所以，此过程中，金属棒刚进入磁场时，感应电流最大．
根据②式，刚进入水平轨道时，金属棒的速度
v
0
=
gL
所以，水平轨道上滑行过程中的最大电流
I
2
=
E′
R
=
B
0
L
gL
R
若金属棒自由下落高度
L
2
，经历时间
t=
L
g
，显然t
0
＞t
所以，
I
1
=
L
2
B
0
R
t
0
＜
L
2
B
0
Rt
=
L
2
B
0
R
L
g
=
I
2
综上所述，金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大．
答：
（1）金属棒在圆弧轨道上滑动过程中，回路中产生的感应电动势E是
L
2
B
0
t
0
；
（2）金属棒从开始滑动到离开右段磁场过程中产生的焦耳热Q为
L
4
B
20
R
t
0
+mg
L
2
-
1
2
m
v
2
；
（3）a．金属棒在水平轨道上滑动过程中通过导体棒的电荷量q为
B
0
L
x
1
(2
x
0
-
x
1
)
2
x
0
R
；
b．金属棒在全部运动过程中金属棒刚进入水平轨道时，即金属棒在x=0处，感应电流最大．
◎ 解析
“略”
◎ 知识点
专家分析，试题“如图1所示，一端封闭的两条平行光滑长导轨相距L，距左端L处的右侧一段被弯成半径为L2的四分之一圆弧，圆弧导轨的左、右两段处于高度相差L2的水平面上．以弧形导轨的末端点O为…”主要考查了你对 【闭合电路欧姆定律】，【法拉第电磁感应定律】，【导体切割磁感线时的感应电动势】，【电磁感应现象中的磁变类问题】，【电磁感应现象中的切割类问题】 等知识点的理解和应用能力。关于这些知识点的“档案”，你可以点击相应的链接进行查看和学习。
http://www.00-edu.com/html/202304/451365.html
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