解与成本分摊-合作博弈论 本书特色
((动态合作：尖端博弈论——较诺奖贡献
更复杂的解法与数式》
引杨荣基彼得罗相李颂志著
本书作者杨荣基和彼得罗相教授是世界知
名的博弈论学者，他们近年来所发表的一系论
文得到国际博弈论界的高度评价，标志着在随
机微分合作领域取得了一系列带有划时代意义
的理论突破，这些理论突破为合作问题的解决
奠定了基础并指明了进一步研究的方向。
本书是对这一重大理论成就的简明阐述，
作者首先以通俗的语言介绍了静态博弈的基本
概念以及非动态环境下博弈论的局限，接下来
运用新发展起来的理论工具分析了如何在随机
动态的环境下成功合作。本书代表着当前国际
博弈论研究的*前沿，对于有志于从博弈论的
普及水平进一步提高的学习者和研究者来说，
这是一部难得的参考读物。
解与成本分摊-合作博弈论 节选
博弈论从一开始就分为两个分支，一是非合作博弈(non-cooperative
game)，一是合作博弈(cooperative game)。事实上，博弈论的早期开创者
们，包括纳什(John Nash)、夏普利(LI Shapley)、哈萨尼(J．C．Harsanyi)、泽
尔腾(P．Selten)和奥曼(R．Aumann)等人对非合作与合作博弈均做出了奠基性
贡献。后来的发展使这两个分支在不同时期受到不同程度的重视。由于20世
纪后期信息经济学的发展，非合作博弈在研究不对称信息情况下市场机制的
效率问题中发挥了重要的作用，从而使得非合作博弈相对于合作博弈在经济
学中占据了主流地位。与之相应地，在发达国家的绝大多数大学经济学系的
研究生课程中，非合作博弈是一门主要的必修课。而合作博弈的内容大多不
在主要授课计划中。
然而，合作博弈并没有随着时间而消失。事实上，起源于John Nash
(1950)的谈判博弈(Bargaining Game)和L Shapley(1953)的夏普利值的公
理化方法，在经济学中产生了广泛且深刻的影响。K．Arrow(1963)的不
可能性定理对社会选择理论的影响，以及后来A．Gibbard(1973)和M．A．
Satterthwaite(1975)对Arrow定理的重要推广，甚至包括T．Groves(1973)等
人的工作，均体现了公理化方法在机制设计(Mechanism Design)中的重要应
用。我们这里特别强调的公理化方法(axiomization)是合作博弈的*基本的方
法。可以说，合作博弈对经济学的贡献不仅仅是它本身丰富的内容，它的公
合作博弈论——解与成本分摊
理化方法本身对经济学亦十分重要。我们注意到，近一二十年以来，合作博
弈理论受到越来越多的重视，许多欧美主要的大学经济学系都开设了合作博
弈的研究生课程。
在一开始，合作博弈事实上受到了比非合作博弈更多的重视。在冯·诺
依曼(J．von Neumann)与摩根斯坦(O．Morgenstern)的博弈论奠基性著作《博
弈论与经济行为》中用了大量的篇幅讨论合作博弈，而在非合作博弈中仅仅
讨论了简单的零和博弈(zero-sum game)。但合作博弈在理论上的重要突破及
其以后的发展在很大程度起源于夏普利(Shapley，1953)提出的夏普利值的解
的概念及其公理化刻画。夏普利首先对主观的“公平”或“合理”等概念给予了
严格的公理化描述，然后寻求是否有满足人们想要的那些公理的解。当然，
如果对一个解的性质或公理要求太多，则这样的解可能不存在；另一方面，
如果这些性质或公理要求得少，则又可能有许多解，即解存在但不唯 。夏
普利值是一个满足三个显而易见的“公平”性质的唯一解[1]。不仅如此，夏普
利的工作具有方法论上的重要意义，他的公理化方法使我们可以研究讨论合
作博弈中其他各种各样的解。合作博弈不仅仅在理论上有重要意义，在实践
中也十分重要。市场经济中外部性(externalities)往往会导致市场失灵fmarket
failure)，因而常常需要由政府参与来解决此类问题。公共产品fpure public
good)的生产与分配就是一个例子。其他的例子包括股份制企业的利润分配、
合资企业的决策权与利润分配、一个社区的财政支出及分配等等，均可由合
作博弈的方法来加以讨论。
学习和研究合作博弈还具有重要的现实意义。当前中国提出构建和谐社
会的设想，一个和谐社会不仅要具有建立在完善法制基础上的公平竞争机
制，同时也要建立各种各样的公平合理的分配机制。而“公平”作为和谐在分
配中的具体体现，需要进一步从理论上加以阐明。关于什么是“公平”，社会
科学有许多论述，在中国的悠久文化中也有许多阐述。例如，早在春秋时期
的孔子就思考过公平问题，并说“有国有家者，不患寡而忠不均，不患贫而患
不安”(见《论语·季氏》)。而且由此可见，儒家传统把公平放在比效率
更为重要的一个层面。但是“公平”的概念与含义是随时代的发展而发展变化
的。比如当生产力十分低下时(例如体力劳动为主)，每个人的投入与产出
都较少而相互之间差别不大，此时平均分配产出就是公平的。但是运用不当
可能是非常危险的。中国历史上数不胜数的农民起义都是打着“均贫富”的口
号(自北宋末年钟相、杨么起义开始)。唐末农民起义军领袖王仙芝则自称
是“天补平均”大将军。到了太平天国时期，绝对平均的思想发展到了极致。
太平天国的《天朝田亩制度》中进一步提出了“有田同耕，有饭同食，有衣
同穿，有钱同使，无处不均匀，无人不饱满”的绝对平均的主张。史学家普
遍认为这一思想对中国社会的发展产生相当大消极和负面影响，使人们只注
重事后的分配结果的平均化，而不看重事前的激励以及机会、权利平等的现
代公平观。古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle)就意识到公平不是绝对平均
意义上的分配，他曾经提出“equal treatment of equals，unequal treatment t0
unequals'’，即相同的贡献(或投入)应得到相同的回报(或产出)，但不
同的贡献应得到不同的回报。不过，如何不同亚里士多德本人却并没有明确
回答(也不可能给予回答)，后人对于不同的贡献应得到如何不同的回报有
许多不同的回答，仁者见仁，智者见智。例如，卢梭就认为在财产私有产权
前提下，就无法实现公平(平等)。当然，这是一个极端的例子。而关于公
平这个概念的复杂性，学者们是有共识的，例如萨托利就认为公平问题的复
杂性简直可以称为迷宫，而且其程度要比自由的复杂性更大(Sartori,1987)。
读者将会发现，事实上本书的大部分内容就是试图对于什么是“公平”、“合
理”的分配加以理论分析。合作博弈的理论特别是其公理化方法提供了讨
论“公平”或“合理”的分配机制的一个理论框架。
当今世界各国经济发展的不均衡在一定程度上是由于国家间的激烈竞争
导致的。不仅各国内部，而且国与国之间贫富差距日益加大。产生这些差距
的一个不可忽视的原因就是不平等的贸易，特别是由不平等贸易导致的对原
材料、能源等资源的不平等分配。而这些不平等分配都是由表面上看似公平
的市场竞争导致的。例如，基于市场配置的有效性原理(“看不见的手”或称
福利经济学**定理)，资源应该更多地被配置到它能更多地发挥其作用的
地方。发达国家对于同等数量的资源投入大多具有较高的生产率(严格地说
是边际生产率)，那么根据在*优配置下(也是有效配置)所有国家所应拥
有资源的边际生产率应相等的原理，发达国家应当占有较多的资源，即市场
竞争导致了资源被发达国家更多地占有，进而进一步导致发达国家占有更多
的财富。那么合作博弈理论能对上述看似平等实则不平等的问题提供哪些答
案呢?我们不能保证合作博弈是解决这些问题的灵丹妙药，但我们相信合作
博弈是一个截至目前为止帮助我们刻画和思考这些问题的一个*好的理论框
架。比如我们应如何考虑一些经济合作组织的形成及对成员国与非成员国的
利益的影响，这样的国际经济组织有许多，其中包括世界贸易组织(WTO)、
欧盟(Eu)、北美自由贸易区(NAFTA)及亚太经济合作组织(APEC)等。这些
组织内部及其相互间的贸易竞争涉及许多利益问题，我们相信合作博弈特别
是其中关于联盟形成(coalition formation)的研究可为上述问题提供有用的理
论参考。
基于上述关于合作博弈在理论与实践中的需要，本书的目的是试图较深
入地介绍合作博弈的基本内容及其应用，特别是费用分摊理论。本书还介绍
了合作博弈其他方面的应用以及一些新的进展，其中有合作博弈在网络经济
学方面的应用与发展，这些网络包括交通运输网络、通信网络、社会关系网
络等。为了揭示合作博弈与非合作博弈之间深刻的内在联系，本书的*后一
章介绍了合作博弈的非合作博弈基础。
**章是合作博弈基本内容介绍，主要包括合作博弈的定义、合作博
弈的若干解的概念，其中有核(Core)、稳定集(Stable Set)及*重要的夏普利
值fShapley value)等。
第二章讨论夏普利值的推广，其中涉及加权夏普利值、分解原
则(Decomposition Principle)和联盟形成问题(Coalition Formation)等内容。
第三章讨论一些特殊但有重要应用价值的合作博弈，它们是排列博
弈(sequencing Game)与匹配博弈(Matching Game)。
第四章是关于合作博弈在网络成本分摊问题中的应用，包括著名的*小
成本生成树博弈(Minimal Cost Spanning Tree Game)，同时还介绍了其夏普
利值。
第五章包括离散型成本分摊博弈(discrete cost sharing model)和连续型成
本分摊博弈(continuous cost sharing model)。离散型成本分摊博弈可以看做
是合作博弈的由0—1变量的情形到任意非负整数变量的推广(参考人的参与
程度由一个整数来描述)，因而离散型成本分摊博弈比普通的合作博弈内容
更丰富。类似地，连续型成本分摊博弈可以被看作是合作博弈中的非原子博
弈(non-atomic game)(Aumann and Shapley,1974)。当然，由于成本函数的
特性以及参与人的需求可以是异质的(heterogeneous)，连续型成本分摊问题
通常独立于非原子博弈而有自己的理论。
本书的*后一章介绍了合作博弈的非合作博弈基础，这一章的目的是
试图回答一个合作博弈首先为什么会形成(联盟形成问题)，同时也考虑
参与人为什么会接受一个特定的解，比如说夏普利值。近年来值得注意的
是Jorgensen and Yeung(1999)关于微分对策的策略性让步博弈以及它在国与
国间的贸易谈判中的应用。我们在书中的*后部分也加以分绍。
写作此书的念头产生于作者之一王运通于2006年在对外经贸大学国际经
济贸易学院的访问。当时王运通根据他本人在加拿大温莎大学fUniversity 0f
Windsor)给经济学系研究生开设的一门高级微观经济学专题的课程的讲义，
在对外经济贸易大学讲授了其中的部分章节。在同一时期，董保民在对外
经贸大学讲授的54学时的研究生水平博弈论课程中包含大量的合作博弈论内
容。考虑到国内有关合作博弈方面的介绍有待加强，我们决定在上述两份讲
义的基础上写作一本书，我们一致认为这是一件有意义的工作。此后，董保
民和当时在对外经济贸易大学攻读硕士的研究生郭桂霞(本书作者之一，现
为北京大学中国经济研究中心博士研究生)进行了讲义的系统化和规范化工
作，并且增加了作者近期的有关河流网络污染成本分摊问题的研究。经过大
家近一年的共同努力，使本书终于与读者见面。
本书可以作为研究生水平的博弈论教材之一，根据学时安排，可以讲授
**、二、六章或该书全部内容。本书也可以作为对合作博弈论感兴趣的读
者的入门介绍，亦可作为研究者的案头参考书。
写好一本书不是一件容易的事，特别是在多个作者的情况下。我们虽然
尽了力所能及的努力避免错误，但仍不能保证这本书没有错误。我们希望读
者在阅读中如发现任何不当之处，及时地通知作者，我们将十分感谢，并在
以后加以改正。
*后，作者王运通特别提出要感谢对外经贸大学国际经济贸易学院的同
事，特别是院长赵忠秀的大力支持和协助。感谢国际经济贸易学院所提供的
良好的工作环境与学术氛围，这本书的完成是一个成功的合作博弈的例子。
王运通也在此感谢他在加拿大的妻子Julie、儿子Andrew和女儿Emily，他们
的理解与支持也是对写作本书的一个贡献。三位作者向中国市场出版社的孙
忠先生表示诚挚的感谢，没有孙忠先生的努力和耐心，这本书是无法和读者
见面的。
董保民对外经济贸易大学经济学系
王运通 加拿大温莎大学经济学系
郭桂霞北京大学中国经济研究中心
第五章
成本分摊博弈
5．1 成本分摊博弈简介
正如本书前言中所说，成本分摊博弈(Cost Sharing Games)是合作博弈中
非常重要的一大类博弈，与之相对应的收益分配问题从方法论上来讲与成本
分摊问题无本质差异。
一般来说，成本分摊博弈可以转化为普通的合作博弈来处理。但在实际
中，由于成本分摊问题的特殊性以及它的丰富内容，通常将成本分摊问题作
为合作博弈的一个单独部分来研究，这也进一步丰富了合作博弈论的研究。
我们在本章中专门介绍成本分摊博弈中的特殊分摊方法和概念，并将其
应用于实际的河流成本分摊问题中。
成本分摊博弈可分为离散型和连续型成本分摊博弈两大类，不同类型的
成本分摊博弈的分摊方法不太一样，下面分别加以介绍。
5．1．1 离散型成本分摊博弈
现在我们考虑这样的成本分摊问题。数目有限的参与人i=1…．，n共同
使用一套生产设施。每个参与人需要qi单位产品，qi不可分割(即为非负整
数)。总生产成本C(g1…．，qn)必须在n个参与人之间合理地分摊。
*早研究这一模型的是Moulin(1995)。该模型将标准的合作博弈模型
(每个参与人的需求都是0—1变量)推广到参与人需求可以为任意非负整数
的情况。
沿着夏普利方法的思路，我们首先考察可加性和虚拟性这两个基本公理
在成本分摊方法中的含义。Weber(1988)证明了在合作博弈模型中，可加
性(或者更准确地说，他使用的是一个更强的公理，称为线性(1inearity))
和虚拟性可以将随机序列值公理化。那么相应地，我们也来提出一个表示
定理(representation theorem)将满足可加性和虚拟性公理的所有方法给予公
理化。我们将证明这些成本分摊方法都可以由路径生成解(path generated
methodsl的凸组合得出。
离散型成本分摊模型中比较重要的两个分摊方法是Shapley-Shubik方法
和(离散型)Aumann-Shapley方法。本章将在第二节中加以介绍。
5．1．2 连续型成本分摊博弈
在本节中，我们要学习的是一类已经发展比较成熟的模型：连续型成
本分摊模型(Billera et a1．，1978，1982；Samet and Tauman，1982；Tauman，
1988；Friedman and Moulin，1995以及Sprumont，1998)。在连续型成本分
摊模型中，参与人的需求量是可以分割的(即可以为任意实数)。
除Sprumont(1998)以外，对于这类模型的研究大多集中在从一系列可加
性规则延伸出的各种具体规则（如Aumann-Shapley方法、Shapley-Shubik方
法、Friedman-Moulin方法等)的特征化方面。
Weber(1988)利用随机序列值特征化了二元需求模型的一系列满足虚拟
性公理的线性解。在离散型成本分摊模型中，我们也将看到满足虚拟性公理
的一系列可加性方法都是路径生成解的凸组合(Wang，1999)。很自然地，在
连续型成本分摊模型中，有没有可以由可加性和虚拟性公理特征化的成本分
摊方法呢?答案是肯定的。
首先应该注意的是，满足虚拟性公理的可加性规则的集合大于随机序
列值的集合（例如Aumann-Shapley方法并不是一个随机序列值)。Friedman
(1998)和1Haimanko(1998)都证明了满足虚拟性公理的可加性规则的集合可以
由路径生成规则及其凸组合来公理化。另一方面，通过在可加性和虚拟性公
理之外再引入其他一些公理，Friedman and Moulin(1995)证明了规模不变
性(Scale Invariance)和需求单调性(Demand Monotonicity)可以将随机序列值
公理化。
Sprumont(1998)提出了一个称为“序数性”(Ordinality)的新公理并把它
与对称性公理结合起来，将著名的Shapley-Shubik规则给公理化，并且研究
了不可加性规则。在本章中，我们将使用序数性来公理化随机序列值。
序数性公理要求待分摊的成本与参与人需求量的衡量单位无关。正式
地说，该公理是说待分摊的成本不受衡量单位的所有单调增变换(而不
仅仅是线性变换)的影响。乍看起来，这个公理是很强的，然而Sprumont
f1998)指出，该公理仍然为成本分摊规则留出了很大的余地。序数性公理
是经典的规模不变性公理的强化，因此它有助于公理化Shapley-Shubik规
则。事实上，Wang(2003)证明了Shapley-Shubik规则可以用可加性、虚拟
性、对称性以及序数性来公理化，或者用可加性、虚拟性、对称性和简单
性(Simplicity)(Mclean and Sharkey,1992)，再或者用可加性、虚拟性、对称
性、规模不变性以及需求单调性来公理化(Friedman and Moulin，1995)。
解与成本分摊-合作博弈论 作者简介
p>作者简介
董保民
2004年获得加拿大Concordia大学经济学博士，现任
教于对外经济贸易大学经济学系。主要学术研究领域有
产业组织理论、合作博弈论的应用、不对称信息对经济
行为的影响等。
土运通
加拿大windsor大学经济系副教授。1 989年南开大学
数学博士，2000年蒙特利尔大学经济学博士，任教于
Sabanci大学经济系．2003年起任教Windsor大学经济学
系。曾任加拿大社会科学与人文研究院(SSHRC)研究
经费评审委员会委员。主要研究领域是博弈论和微观经
济理论．曾在相关的国际一流刊物发表多篇学术论文并
担任匿名评审工作。
郭桂霞
