高等数学深化训练与考研指导 本书特色
本书依据全国高校数学基础课程授课的内容组织编写，按高等数学（理工类）课程等知识点分专题进行讲授，对所涉及的知识点和考点进行分类整合，精选了典型例题和拓展习题进行讲解或解答，化解难点。本书编写特色在于知识的高度综合性和交叉性，在一定高度上进行数学思想的糅合。知识点可以前后穿插，以训练学生的数学思维能力，锻炼学生的独立思考的能力，提高学生的解题水平。
高等数学深化训练与考研指导 目录
目 录
第1章 函数与极限 1
1.1 知识要点 1
1.1.1 映射与函数 1
1.1.2 函数的基本特性 1
1.1.3 反函数 2
1.1.4 复合函数 3
1.1.5 基本初等函数与初等函数 3
1.1.6 极限的概念与性质 3
1.1.7 无穷小与无穷大 4
1.1.8 极限的运算法则 5
1.1.9 极限存在准则与两个重要极限 5
1.1.10 函数的连续性 6
1.1.11 函数的间断点 6
1.1.12 连续函数的性质 7
1.1.13 闭区间上的连续函数的性质 7
1.1.14 一些重要的结论 8
1.1.15 一些常用的公式 8
1.2 典型例题分析 9
1.2.1 题型一、函数定义域的求解 9
1.2.2 题型二、函数表达式的求解 10
1.2.3 题型三、反函数的求解 11
1.2.4 题型四、复合函数的求解 11
1.2.5 题型五、函数的基本特性 12
1.2.6 题型六、极限的概念与性质问题 14
1.2.7 题型七、利用极限的四则运算法则求极限 15
1.2.8 题型八、利用单侧极限的性质求极限 16
1.2.9 题型九、利用两个重要极限求极限 17
1.2.10 题型十、利用等价无穷小量替换求极限 17
1.2.11 题型十一、利用极限存在准则求极限 18
1.2.12 题型十二、函数的连续性问题 20
1.2.13 题型十三、连续函数的等式证明问题 21
1.3 深化训练 22
1.4 深化训练详解 25
1.5 综合提高训练 31
第2章 导数与微分 36
2.1 知识要点 36
2.1.1 导数的概念 36
2.1.2 导数的几何意义与物理意义 36
2.1.3 基本初等函数的导数公式 37
2.1.4 导数的四则运算法则 37
2.1.5 常用求导法则 37
2.1.6 高阶导数 38
2.1.7 微分的概念与性质 39
2.1.8 微分在近似计算中的应用 40
2.2 典型例题分析 41
2.2.1 题型一、导数与微分的定义问题 41
2.2.2 题型二、分段函数的求导问题 43
2.2.3 题型三、导数的几何意义 44
2.2.4 题型四、导函数的几何特性问题 45
2.2.5 题型五、利用可导性求参数值（域） 46
2.2.6 题型六、高阶导数问题 47
2.2.7 题型七、反函数、复合函数的求导问题 48
2.2.8 题型八、隐函数的求导问题 49
2.2.9 题型九、导函数的连续性问题 50
2.2.10 题型十、参数方程的求导问题 50
2.2.11 题型十一、微分问题 51
2.3 深化训练 52
2.4 深化训练详解 54
2.5 综合提高训练 59
第3章 中值定理与导数的应用 60
3.1 知识要点 60
3.1.1 中值定理 60
3.1.2 洛必达法则 60
3.1.3 函数的单调区间 61
3.1.4 函数的极值 61
3.1.5 函数的凹凸区间与拐点 61
3.1.6 曲线的渐近线 61
3.1.7 函数作图 62
3.1.8 曲率、曲率圆与曲率半径 62
3.1.9 一些常用的麦克劳林公式 62
3.2 典型例题分析 63
3.2.1 题型一、利用中值定理证明等式问题 63
3.2.2 题型二、利用中值定理证明不等式问题 65
3.2.3 题型三、洛必达法则的应用 65
3.2.4 题型四、函数的凹凸性与拐点问题 67
3.2.5 题型五、显式不等式的证明问题 69
3.2.6 题型六、函数的零点（方程的根）问题 71
3.2.7 题型七、渐近线问题 71
3.2.8 题型八、泰勒公式的应用问题 73
3.2.9 题型九、曲率问题 74
3.3 深化训练 75
3.4 深化训练详解 77
3.5 综合提高训练 85
第4章 不定积分 89
4.1 知识要点 89
4.1.1 不定积分的定义与性质 89
4.1.2 换元积分法 89
4.1.3 分部积分法 90
4.1.4 有理函数积分法 90
4.1.5 三角函数有理式的积分法 90
4.1.6 简单无理函数的积分法 91
4.1.7 常用积分公式表 91
4.2 典型例题分析 92
4.2.1 题型一、不定积分的概念与性质问题 92
4.2.2 题型二、利用换元积分法求解不定积分 92
4.2.3 题型三、利用分部积分法求解不定积分 94
4.2.4 题型四、利用等式求解不定积分 96
4.2.5 题型五、求解有理函数的不定积分 96
4.2.6 题型六、求解三角函数有理式的不定积分 97
4.2.7 题型七、简单无理函数的不定积分 98
4.2.8 题型八、递推公式问题 99
4.2.9 题型九、分段函数的积分问题 100
4.3 深化训练 101
4.4 深化训练详解 103
4.5 综合提高训练 108
第5章 定积分及其应用 112
5.1 知识要点 112
5.1.1 定积分的定义 112
5.1.2 定积分的几何意义与物理意义 112
5.1.3 定积分的性质 113
5.1.4 积分上限的函数及其导数 114
5.1.5 定积分的计算 114
5.1.6 反常积分（或广义积分） 114
5.1.7 几个重要的结论 115
5.1.8 定积分的应用 116
5.2 典型例题分析 120
5.2.1 题型一、有关定积分概念与性质的问题 120
5.2.2 题型二、利用换元法和分部积分法求解积分 122
5.2.3 题型三、带有技巧性的定积分计算问题 125
5.2.4 题型四、积分上限的函数及其导数问题 127
5.2.5 题型五、积分等式问题 129
5.2.6 题型六、积分不等式问题 131
5.2.7 题型七、广义积分问题 133
5.2.8 题型八、定积分的应用问题 135
5.3 深化训练 137
5.4 深化训练详解 142
5.5 综合提高训练 151
第6章 微分方程 158
6.1 知识要点 158
6.1.1 一阶微分方程及解法 158
6.1.2 可降阶的高阶微分方程及解法 159
6.1.3 二阶线性微分方程 160
6.1.4 高阶线性微分方程 161
6.1.5 欧拉方程 161
6.2 典型例题分析 162
6.2.1 题型一、一阶微分方程的求解 162
6.2.2 题型二、高阶微分方程的求解 164
6.2.3 题型三、利用通解性质求解相关问题 167
6.2.4 题型四、微分方程的应用 169
6.3 深化训练 171
6.4 深化训练详解 173
6.5 综合提高训练 182
第7章 空间解析几何与向量代数 186
7.1 知识要点 186
7.1.1 向量的概念及线性运算 186
7.1.2 曲面及其方程 187
7.1.3 空间曲线及其方程 188
7.1.4 平面及其方程 188
7.1.5 直线及其表示 189
7.2 典型例题分析 191
7.2.1 题型一、向量的运算 191
7.2.2 题型二、空间曲线与曲面的求解问题 192
7.2.3 题型三、平面方程的求解问题 192
7.2.4 题型四、直线方程的相关问题 193
7.2.5 题型五、直线与平面的关系问题 197
7.3 深化训练 198
7.4 深化训练详解 201
7.5 综合提高训练 205
第8章 多元函数微分法及应用 208
8.1 知识要点 208
8.1.1 二元函数的定义 208
8.1.2 二元函数的极限与连续 208
8.1.3 偏导数 209
8.1.4 全微分 210
8.1.5 多元函数的求导法则 211
8.1.6 二元函数的极值 212
8.1.7 多元函数微分学的几何应用 213
8.1.8 方向导数与梯度 214
8.2 典型例题分析 214
8.2.1 题型一、多元函数的概念问题 214
8.2.2 题型二、多元函数的极限与连续问题 215
8.2.3 题型三、求解多元函数的偏导数与全微分 216
8.2.4 题型四、多元函数的极值与*值问题 218
8.2.5 题型五、多元函数微分学的几何应用 219
8.2.6 题型六、方向导数与梯度 221
8.3 深化训练 222
8.4 深化训练详解 226
8.5 综合提高训练 234
第9章 重积分 239
9.1 知识要点 239
9.1.1 二重积分的概念与性质 239
9.1.2 利用直角坐标系计算二重积分 240
9.1.3 利用极坐标计算二重积分 241
9.1.4 利用对称性求解二重积分 241
9.1.5 三重积分的概念 242
9.1.6 利用直角坐标计算三重积分 242
9.1.7 利用柱面坐标计算三重积分 243
9.1.8 利用球面坐标计算三重积分 243
9.1.9 重积分的应用 244
9.2 典型例题分析 245
9.2.1 题型一、重积分的概念问题 245
9.2.2 题型二、利用直角坐标系计算二重积分 246
9.2.3 题型三、利用极坐标计算二重积分 248
9.2.4 题型四、利用直角坐标系计算三重积分 250
9.2.5 题型五、利用柱面坐标计算三重积分 250
9.2.6 题型六、利用球面坐标计算三重积分 251
9.2.7 题型七、重积分的应用 251
9.3 深化训练 252
9.4 深化训练详解 255
9.5 综合提高训练 259
第10章 曲线积分与曲面积分 265
10.1 知识要点 265
10.1.1 **类曲线积分的概念及计算 265
10.1.2 第二类曲线积分的概念及计算 266
10.1.3 格林公式及其应用 267
10.1.4 **类曲面积分的概念与计算 268
10.1.5 第二类曲面积分的概念与计算 269
10.1.6 高斯公式与斯托克斯公式 271
10.2 典型例题分析 272
10.2.1 题型一、求解**类曲线积分 272
10.2.2 题型二、求解第二类曲线积分 274
10.2.3 题型三、格林公式的应用 276
10.2.4 题型四、求解**类曲面积分 279
10.2.5 题型五、求解第二类曲面积分 281
10.2.6 题型六、高斯公式、斯托可斯公式的应用 283
10.2.7 题型七、曲线、曲面积分的实际应用 286
10.3 深化训练 287
10.4 深化训练详解 290
10.5 综合提高训练 297
第11章 无穷级数 303
11.1 知识要点 303
11.1.1 无穷级数的概念 303
11.1.2 无穷级数的性质 303
11.1.3 常见级数的敛散性 304
11.1.4 正项级数敛散性的判别法 304
11.1.5 任意项级数的敛散性 305
11.1.6 函数项级数的概念 305
11.1.7 幂级数的概念 306
11.1.8 幂级数的和函数的性质 306
11.1.9 函数的幂级数展开 307
11.1.10 常见的麦克劳林公式 307
11.1.11 傅里叶级数 307
11.2 典型例题分析 308
11.2.1 题型一、利用定义与性质判断级数的敛散性 308
11.2.2 题型二、判断正项级数的敛散性 309
11.2.3 题型三、判断任意项级数的敛散性 310
11.2.4 题型四、函数项级数收敛域的求解 311
11.2.5 题型五、讨论幂级数的收敛半径及收敛域 311
11.2.6 题型六、求幂级数的和函数 312
高等数学深化训练与考研指导 作者简介
袁安锋，中国人民大学博士，现为北京联合大学基础部教师。主讲高等数学、微积分、线性代数、概率论与数理统计、数值分析以及考研数学等课程。先后荣获北京联合大学教学成果一等奖，中青年教师执教能力大赛一等奖，青年教师教学基本功大赛一等奖，北京市青年教师教学基本功大赛一等奖、*教案奖和*演示奖，北京市数学微课程教学设计大赛一等奖等多个奖项。
