普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(下册)(第2版)/代鸿等 本书特色
本书分为上、下两册.下册内容包括: 微分方程，向量代数与空间解析几何，多元函数微分法及其应用，重积分和曲线积分，无穷级数共5章.
全书弱化了定理证明，在例题及习题的选取上突出了应用性，强化了高等数学课程与后续专业课程的联系，便于教学和自学. 本书可作为普通高等学校（少学时）、独立学院、成教学院、民办学院本科非数学专业的教材.本书还突出了高等数学在经济中的应用，因而经济类本科院校同样适用.
普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(下册)(第2版)/代鸿等 内容简介
本书分为上、下两册.下册内容包括: 微分方程，向量代数与空间解析几何，多元函数微分法及其应用，重积分和曲线积分，无穷级数共5章.
全书弱化了定理证明，在例题及习题的选取上突出了应用性，强化了高等数学课程与后续专业课程的联系，便于教学和自学. 本书可作为普通高等学校（少学时）、独立学院、成教学院、民办学院本科非数学专业的教材.本书还突出了高等数学在经济中的应用，因而经济类本科院校同样适用.
普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(下册)(第2版)/代鸿等 目录
第7章微分方程1
7.1微分方程的基本概念1
7.1.1引例1
7.1.2微分方程定义2
习题7?15
7.2可分离变量微分方程5
7.2.1可分离变量微分方程定义及解法5
7.2.2可分离变量微分方程的应用6
习题7?29
7.3齐次型微分方程9
7.3.1齐次型微分方程定义及解法9
7.3.2可化为齐次型微分方程12
习题7?314
7.4一阶线性微分方程14
7.4.1一阶线性微分方程的定义14
7.4.2一阶非齐次线性微分方程的解法15
7.4.3伯努利方程18
习题7?420
7.5可降阶高阶微分方程21
7.5.1y″=f(x)型21
7.5.2y″=f(x，y′)型22
7.5.3y″=f(y，y′)型23
习题7?526
7.6高阶线性微分方程26
7.6.1二阶齐次线性微分方程解的结构27
7.6.2二阶非齐次线性微分方程解的结构28
习题7?629高等数学 （下册）（第2版）目录[1][2]7.7二阶常系数齐次线性微分方程30
习题7?733
7.8二阶常系数非齐次线性微分方程34
7.8.1f(x)=Pm(x)eλx型34
7.8.2f(x)=eλx［Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx］ 型37
习题7?838
总复习题七39
第8章向量代数与空间解析几何41
8.1向量及其线性运算41
8.1.1向量的概念41
8.1.2向量的线性运算42
8.1.3向量的坐标表示43
习题8?146
8.2数量积和向量积46
8.2.1两向量的数量积46
8.2.2两向量的向量积47
习题8?249
8.3平面及其方程49
8.3.1平面的点法式方程49
8.3.2平面的一般式方程50
8.3.3两平面的位置关系52
8.3.4点到平面的距离53
习题8?354
8.4空间直线及其方程54
8.4.1空间直线的点向式方程及参数方程54
8.4.2空间直线的一般式方程56
8.4.3两直线的位置关系58
8.4.4直线与平面的位置关系58
8.4.5平面束59
习题8?460
8.5曲面及其方程61
8.5.1曲面方程的概念61
8.5.2简单曲面61
8.5.3常见的二次曲面64
习题8?566
8.6空间曲线及其方程66
8.6.1空间曲线的一般式方程66
8.6.2空间曲线的参数方程67
8.6.3空间曲线在坐标面上的投影67
习题8?668
总复习题八69
第9章多元函数微分法及其应用71
9.1多元函数的基本概念71
9.1.1平面点集71
9.1.2n维空间73
9.1.3多元函数的概念73
9.1.4多元函数的极限75
9.1.5多元函数的连续性77
9.1.6多元函数在有界闭区域上的连续性79
习题9?180
9.2偏导数80
9.2.1偏导数的定义及其计算方法80
9.2.2偏导数的几何意义83
9.2.3偏导数与连续之间的关系83
9.2.4高阶偏导数84
习题9?285
9.3全微分86
9.3.1全微分的定义86
9.3.2可微的条件87
9.3.3全微分在近似计算中的应用90
习题9?391
9.4多元复合函数的求导法则91
9.4.1多元复合函数求导91
9.4.2多元复合函数的高阶导数94
9.4.3全微分形式不变性95
习题9?496
9.5隐函数求导法97
9.5.1一个方程F(x,y)=0的情形97
9.5.2一个方程F(x,y,z)=0的情形98
9.5.3方程组的情形99
习题9?5101
9.6多元函数的极值及其求法101
9.6.1多元函数的极值102
9.6.2多元函数的*值104
9.6.3条件极值105
习题9?6109
9.7多元函数微分学的几何应用109
9.7.1空间曲线的切线与法平面109
9.7.2曲面的切平面与法线112
9.7.3全微分的几何意义114
习题9?7115
总复习题九116
第10章重积分和曲线积分117
10.1二重积分的概念与性质117
10.1.1二重积分概念的背景117
10.1.2二重积分的概念119
10.1.3二重积分的性质120
习题10?1122
10.2二重积分的计算法123
10.2.1利用直角坐标计算二重积分123
10.2.2利用极坐标计算二重积分128
习题10?2133
10.3二重积分的应用135
10.3.1曲面的面积135
10.3.2质心138
10.3.3转动惯量139
习题10?3140
10.4三重积分140
10.4.1三重积分概念的背景140
10.4.2三重积分的概念141
10.4.3三重积分的计算141
习题10?4147
10.5对弧长的曲线积分148
10.5.1对弧长的曲线积分概念的背景148
10.5.2对弧长的曲线积分的概念与性质148
10.5.3对弧长的曲线积分的计算法149
习题10?5152
10.6对坐标的曲线积分152
10.6.1对弧长的曲线积分概念的背景152
10.6.2对弧长的曲线积分的概念与性质153
10.6.3对弧长的曲线积分的计算法155
10.6.4两类曲线积分之间的关系159
习题10?6161
10.7格林公式及其应用162
10.7.1格林公式162
10.7.2平面上曲线积分与路径无关的条件164
习题10?7167
总复习题十168
第11章无穷级数171
11.1常数项级数171
11.1.1常数项级数的基本概念171
11.1.2无穷级数的基本性质174
习题11?1176
11.2正项级数176
习题11?2183
11.3一般项级数184
11.3.1交错级数及其审敛法184
11.3.2绝对收敛与条件收敛185
习题11?3187
11.4幂级数188
11.4.1函数项级数的基本概念188
11.4.2幂级数的概念189
11.4.3幂级数的性质194
11.4.4幂级数的运算196
习题11?4196
11.5函数展开成幂级数197
11.5.1泰勒级数197
11.5.2函数展开成幂级数的方法198
?11.5.3函数的幂级数展开式的应用201
习题11?5203
11.6傅里叶级数204
11.6.1三角级数204
11.6.2以2π为周期的函数的傅里叶级数205
11.6.3以2l为周期的函数的傅里叶级数210
习题11?6212
总复习题十一213
附录C二阶和三阶行列式简介216
附录D空间坐标系简介219D.1空间直角坐标系219
D.2极坐标220
习题答案与提示227
普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(下册)(第2版)/代鸿等 节选
第9章多元函数微分法及其应用上册中讨论的函数只有一个自变量,这种函数称为一元函数.然而在许多实际问题中,很多量是由多方面的因素决定的,反映到数学上就是一个变量依赖于多个变量的情形.这就提出了多元函数以及多元函数的微积分问题.
本章将在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数的微分法及其应用.讨论时以二元函数为主，进而推广到二元以上的多元函数.
9.1多元函数的基本概念〖*4/5〗9.1.1平面点集定义9.1.1坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作D={(x,y)|(x,y)具有性质P}例如,平面上以原点为圆心,半径为2的圆内所有点的集合是D={(x,y)|x2+y2
如果点集 D 内任意两点都可用有限条折线连接起来,且该折线上的点都属于 D，则称点集 D 是连通集(如图9.1.3所示).
连通的开集称为区域或开区域.开区域同它的边界组成的点集称为闭区域.例如,集合 (x,y)|1
对于点集 D，如果存在原点的某一个邻域 U(O)，使得图9.1.4 D?U(O) 则称点集D为有界集(如图9.1.4所示).反之,称 D 为无界集.例如,集合 (x,y)|1≤x2+y2≤4是有界闭区域,集合 (x,y)|x+y>0 是无界开区域,集合 (x,y)|x+y≥0 是无界闭区域.
9.1.2n维空间
由平面解析几何知道R,R2,R3 分别表示实数,二元有序数组 (x,y)，三元有序数组 (x,y,z) 的全体,它们分别对应于数轴,二维平面,三维立体空间.推广到一般情况，n 元有序数组 (x1,x2,…,xn) 的全体用Rn 来表示,它对应于 n 维空间.即Rn=(x1,x2,…,xn)|xi∈R,i=1,2,…,n 任意一个n元有序数组(x1,x2,…,xn)称为n维空间的一个点P，表示为P(x1,x2,…,xn)，其中xi(i=1,2,…,n)称为点P的第i个坐标.
为了集合Rn 中的元素建立联系,在Rn 中定义的线性运算如下:
设 x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn) 为Rn 中的任意两个元素，λ∈R.规定 x±y=(x1±y1,x2±y2,…,xn±yn)，λx=(λx1,λx2,…,λxn) 设Rn 中任意两点为 P(x1,x2,…,xn) 与 Q(y1,y2,…,yn)，则 P 与 Q 之间的距离表示为 PQ，规定 PQ=(x1－y1)2+(x2－y2)2+…+(xn－yn)2 显然，n=1,2,3 时,上述规定与数轴上,平面直角坐标系及空间直角坐标系中两点间的距离公式是一致的.由于 Rn 中线性运算和距离的引入,则前面平面点集所叙述的一系列概念,都可以推广到 Rn 中去了.例如，Rn 中的点 P(x1,x2,…,xn) 的邻域 U(P,δ) 可表示为 U(P,δ)=QPQ
在一元函数中,函数关系是因变量的取值仅依赖于一个自变量,而在实际问题中需研究的是因变量依赖于多个自变量的函数关系.例如,圆柱体的体积 V=πr2h，其中 V 是由圆柱体的半径 r 和 h 决定的.
定义9.1.3设 D 是平面上的一个非空点集,如果按照某种对应法则 f，对于 D 中的任意一点 (x,y)，都存在唯一确定的实数 z 与之对应,则称 f 为定义在 D 上的二元函数,记为 z=f(x,y),(x,y)∈D 其中 x,y 称为自变量，z 称为因变量.点集 D 称为函数 z=f(x,y) 的定义域,函数值的集合称为该函数的值域,记为 f(D).即 f(D)=z|z=f(x,y),(x,y)∈D 二元函数在点 (x0,y0) 取得的函数值,记为zx=x0y=y0，z(x0,y0)或f(x0,y0) 类似地可定义三元及以上的函数.
定义9.1.4设 D 是 n 维空间Rn 内的一个非空点集,如果按照某种对应法则 f，对于 D 中的任意一点 P(x1,x2,…,xn)，都存在唯一确定的实数 y 与之对应,则称 f 为定义在 D 上的 n 元函数,记为 y=f(x1,x2,…,xn),(x1,x2,…,xn)∈D 其中 x1,x2,…,xn 称为自变量，y 称为因变量.点集 D 称为函数 y=f(x1,x2,…,xn) 的定义域,函数值的集合称为该函数的值域,记为 f(D).
当 n≥2 时，n 元函数称为多元函数.与一元函数类似,一般地,由解析式给出的多元函数 y=f(P) 的自然定义域就是使这个式子有意义的自变量所组成的点集.
例1求 f(x,y)=9－x2－y2+ln(x2+y2－4) 的定义域.
解要使表达式有意义,必须 9－x2－y2≥0
x2+y2－4>0 即 4<>
二元函数的几何意义
设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，取P(x,y)∈D，对应的函数值为z=f(x,y)，于是有序数组(x,y,z)确定了空间上的一点M(x,y,z).当(x,y)取遍D中的所有点时,得到一个空间点集 (x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)∈D 称为二元函数 z=f(x,y) 的图形(如图9.1.5所示).
二元函数的图形是空间中一张曲面,它在 xOy平面上的投影区域就是该函数的定义域.例如,二元函数 z=1－x2－y2 表示以原点为中心,1为半径的上半球面(如图9.1.6所示).
图9.1.5
图9.1.6
普通高等教育“十三五”应用型本科规划教材高等数学(下册)(第2版)/代鸿等 作者简介
代鸿，男，重庆大学硕士，讲师。主编了数学类教材4部，主持省部级课题、教学质量工程多项，担任重庆大学城市科技学院数理教研室副主任。
