日常教学中，我们经常能听到这样的对话：“计算怎么还能出错？”“我不是不会，只是太粗心了！”对于学生的计算错误，大多数教师显得很无奈。
讲练并不少，学生的错误为什么还是该怎么犯就怎么犯？甚至教师越强调不要犯某类错误，学生好像与你对着来，偏偏“故意”犯这一类错误。学生也很委屈，明明知道这道题会做，为什么总是这么“粗心”呢？
经过多年的实践我发现，计算错误并非粗心使然，而是伴随教的过程产生的，与教师的“教”有密切的关系。那么，初中数学常见的计算错误究竟有哪些？
“程序跳跃”导致错误及策略
通过观察计算能力较好的学生，你会发现，他们逻辑清晰、步骤明确，第一步做什么，第二步做什么，从不含糊；而计算能力较弱的学生，有时题目倒也会做，但让他说出这道题的解题基本步骤，他竟哑口无言。过去我们常常认为，学生的计算错误都是粗心导致的，而实际上可能是学生的大脑缺少了基本的计算程序，也就是说缺少了程序性知识。
所有计算其实都有科学严谨的运算程序。比如，“解一元一次方程”有5个基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一。实践中我发现，严格按照这些步骤计算的学生，犯错的几率就会很小。
因此，我的策略是：对于初中所涉及的所有运算，教师在教学中应该对各种计算进行具体拆解，归纳出基本程序，尽量统一用第一、第二、第三等来描述，要求学生按基本程序逐步计算。尤其是初始教学，教师应该尽量要求学生不能随意省略或合并基本步骤，以此培养学生良好的逻辑思维习惯。
比如，我们可以归纳出“有理数加法运算”的基本程序：
第一，确定加法运算的类型；
第二，确定结果的符号；
第三，确定结果的绝对值（绝对值相加还是相减）。
同时，要避免计算成为机械的模仿，要重视算理教学（计算的原理或者道理）。学生只有理解了算理，才能克服“做而不思”“会而不对”的现象。我们可以参考几何证明初始教学的经典做法——每一个步骤后面描述推理依据，以此让学生养成 “为什么这么做”“这样做的依据是什么”的思维习惯，从而强化算法与算理的联系。
“疏漏”导致错误及策略
教学中我们发现，学生会出现大量因疏漏而导致的错误。比如：利用乘法分配律时漏乘，移项时忘记变号，去负括号时忘记某项变号，不等式变形时忘记改变不等号的方向，解方程去分母时漏乘不含分母的项，提公因式时漏掉某一公因式，开平方时漏解，解分式方程忘记检验，利用根与系数关系时忽略△≥0……
这些错误反映出学生学习不扎实，对某一计算法则或概念只是关注重要的操作层面，或者只是关注字面含义而忽略其本质。比如对于移项，有的学生只是关注从等式一边移到另一边，忽略了移项是基于等式的基本性质，需要变号后才能移动。
疏漏性错误与教师过多强调运算的模仿及过早地让学生进入机械训练有很大关系，因此教师需要在教学过程中让学生真正感悟而不是直接强调。教师在教学过程中要注重揭示算法的本质，要旗帜鲜明地给出运算的操作要点、应用范围、使用前提、特殊情形、拓展情形等。
对于疏漏性错误，教师首先要有预见性，并且要基于这种预见性精心设计教学过程。比如，教师可以从学生的角度出发，让学生解答一些易错题，学生若出错则进行纠正反思，也可以把典型错误当作重要的警示资源直接展示给学生，让学生找错、改错、分析错因。教师设置这些“陷阱”，让学生在真实情境中接受考验，这样他们的选择、辨析、批判能力将会得到很大的提高。
“负迁移”导致错误及策略
错误不是凭空出现的，其中必然带有其它所学知识的影子，有一类计算错误就是前后所学知识相互干扰而产生混淆所致。比如，学生学习角平分线性质与中垂线性质时，很容易把点到直线的距离与点到点的距离混淆；学习分式时，会把分式通分与解分式方程去分母混淆；学习乘法分配律后，就会产生“除法分配律”的负迁移；学习方程的多种解法时，受先入为主的影响，最后所学的方法会受到先前方法的干扰；学习完全平方公式，会与平方差公式混淆；所学知识的一般情况与特殊情况，因为不同的编排顺序也会互相干扰……
例如，在计算 时，有学生错解为：
=x2-(x+1)(x-1)
=x2-(x2-1)=x2-x2+1=1.
这就是受解方程去分母的影响，在分式通分计算中采用了去分母的方法，破坏了分式计算的等值变形。
“负迁移”错误主要是由于学生学习过程中不注重区别与联系，容易孤立理解数学结论，不能从本质上看待数学问题所致。因此，教师在教学过程中要培养学生用发展变化的眼光去看待问题，要注意“瞻前顾后”“纵横比对”，要关注所学数学知识的本质特征。
同时，这一类错误也可能与教材的编排顺序有关。所以，教师要站在学生的立场去研究教材，研究学生是怎么学习的，学生的思维到底是如何发展的……只有明白学生是怎么想的，才能有的放矢。教师要整体驾驭教材，适当调整教材中相关易混知识点的呈现方式，避免这类错误的发生。
比如，在学习有理数的减法时，教师反复强调减去一个数等于加上它的相反数，因而3-7中7前面的符号“-”是减号。紧接着学习“代数和”，又强调把3-7看成正 3与负7之和，“-”又成了负号，先前学习的有理数减法运算法则就会对“代数和”的理解产生干扰。因为，最终所有减法都要转化为加法“代数和”的形式，所以教学中可以淡化有理数减法运算的训练，只需要让学生明白减法转化为加法“代数和”的道理，快速过渡到加减混合运算的“代数和”形式。这样既节省了课时，又有效避免了减法法则对“代数和”的负迁移影响。
“运算顺序颠倒”导致错误及策略
学生做题不注重从整体观察算式结构，容易导致计算中颠倒运算顺序。这主要是由于学生审题意识不强、整体结构感缺失所致。有的学生拿到计算题，还没有看清楚题目包含哪些运算和括号，这道题分为几个层级，就匆忙下手，极易出现只注意题目细节而忽略整体结构导致运算错误的现象。
比如，在计算：8-23÷（-4）×（-7＋5）时，学生错解为：原式=8-8÷（-4）×（-7＋5）=0÷（-4）×（-7＋5），看上去这道题的错误是不能正确运用“先算乘除，后算加减”的运算规则，本质上是对题目缺乏整体认知。
运算顺序错误属于“无意识”错误，学生非常清楚运算顺序的规则，但仍不知不觉犯错，主要原因是没有养成良好的审题习惯，教师要在解题规范上进行严格要求。比如，要求先分清运算、看清符号、厘清顺序，明确整体与部分关系后再进行计算。对初学者或辨别能力较差的学生，可以要求其使用“圈画标注法”辨别题目中的运算：一级运算可以使用竖线分割，二级运算可以使用横线或方框标注。其实，在标注过程中就落实了仔细审题的要求，同时把复杂的算式结构进行拆解，降低了题目的复杂程度。
比如，上述算式整体上可以看作两部分代数和的形式（见下图），第二部分是3个有理数的乘除结构，通过这样的划分，题目结构清晰了，运算顺序明了了，分块处理简单了。
苏联心理学家克鲁捷斯基曾指出：“对各种现象进行研究的真正科学途径，是把它们分解为一些比较简单的成分。”对于复杂的数学计算也是如此。
“方法单一僵化”导致错误及策略
学生在计算训练中容易形成惯性思维，同一个算式可能有多种计算方法，学生往往只是随便找到其中一种，而不管这种方法是否简便。选取过于复杂的计算方法时，就容易导致中途出错或用时太多。
比如，计算：（a+b）2（a-b）2。
此题的简单算法是先把（a+b）2（a-b）2转化为［（a+b）（a-b）］2。如果直接转化为（a2+2ab+b2）（a2-2ab+b2），在复杂的计算过程中容易出错或者选择放弃，而简单的算法则会让学生运算起来更为快速便捷。
在教学中，教师要随时随地培养学生的计算优化能力，这不仅是运算的准确性、敏捷性要求，也是学生思维深刻性的需要。教师在运算教学中要鼓励学生多角度、多方向、全面地思考问题，并坚持做好从多种方法中选择最佳方法的示范，这种最优化策略的示范，必然会影响学生思考问题的方式。
“不良习惯”导致错误及其策略
有些计算错误与学生不良的学习习惯有密切关系，比如书写潦草，做题不喜欢用草稿纸，需要动笔计算却用口算；有的学生对计算存在畏难情绪或排斥心理，当看到计算题数据较大、运算步骤过多时，就会失去解题信心与耐心，从而导致错误出现；有的学生计算后不反思、不验算，甚至出现计算错误后不认真纠正，导致再次犯同样的错误。
针对这类现象，教师可以对学生的学习习惯提出明确要求并监督落实。比如，要求学生在计算时一气呵成并记录完成时间，中途不东张西望、左顾右盼；要求每个学生准备一个草稿本，打草稿时要书写工整，不定时检查学生的草稿本；培养学生做题时自我监控、做完后自我反省的意识；同时，为了促使学生养成验算的良好习惯，教师可以在教学中把验算作为运算的标准步骤来要求，在评价中把验算作为评分标准的一个环节进行严格规范。此外，教师可以适当开展一些计算竞赛活动，调动学生学习的主动性和积极性，达到提高计算准确率的目的。
美国教育心理学家布鲁纳说：“学生的错误都是有价值的。”错误，是一种宝贵的教学资源。不同的学生有不同的知识背景、认知方式和表达方式，也有参差不齐的思维水平，难免会出现各种各样的错误。上述错误类型虽然难以囊括所有种类，但或许可以给我们一些启发，让我们总结出更多方法教给学生。
（作者单位系山东省潍坊广文中学）
