□杭州市萧山区所前镇第一小学 汤金涛
“小数乘法”的教与学，是建立在小数的意义与性质以及整数乘法的意义上进行的。就其意义而言，它与整数乘法的意义相同。就计算法则而言，需要通过两轮转化完成，即先把它看成整数乘法进行计算，再把它还原成小数乘法并点小数点。同时，在用竖式计算小数乘法时，学生会受到小数加减法竖式计算的负迁移。因此，在教学中，如何采用“多元表征”让学生更充分地理解算理？如何沟通算理与算法之间的联系？克服竖式计算中的负迁移？笔者以人教版“小数乘小数”教学为例，说明一二。
一、自主探究多元推算
1.列出算式后揭示课题
教师课件出示问题：学校要为一个长4.5m、宽3.5m的长方形橱窗涂油漆，请你算一算，工人师傅要涂多少面积的油漆？
在学生自主列出乘法算式后追问：这个算式和我们已经学过的小数乘整数的算式相比，区别在哪里？从学生的观察比较中引出课题“小数乘小数”。又通过教师的设问：它们之间有什么不同？引发学生对两种算法的猜测。
基于学生已有的认知引发学生的思考和探究，是学生学习数学的一个有效方法。其既给予学习的台阶，又可以让学生在比较中发现新知。
2.自主计算后展示不同
鼓励算法多样性是现代数学课程所提倡的重要理念。
教师在学生观察猜测后及时提出问题：我们能不能借鉴之前学的小数与整数相乘的计算方法，用多种方法来计算这道题目呢？看看谁的方法多？
学生借鉴整数乘法和小数乘整数的计算方法，通过画一画、比一比等，在作业纸上写出不同的计算过程。教师再让学生将不同的计算方法展示在黑板上，既激励学生一题多解，也激发了学生的思维。
3.互动交流后感悟联系
教师请板演的几个学生分别阐述自己所用的计算方法和各个步骤的含义，紧接着提出要求：还有人对他们的计算方法有疑惑吗？谁能解答这些疑问？在生生互动中，加深了学生对小数乘小数计算方法的理解。
二、沟通联系总结算法
1.比较多种算法建立联系
运用多种方法解决数学问题，并通过各种方法之间的比较，找到彼此的联系，可以促使学生发现一些数学知识的基本规律，这是我们认识数学世界的普遍方法。
教师在学生板演和交流后及时追问：黑板上的这几种计算方法，它们在计算思路上有相通的地方吗？学生通过比较和分析后发现，前三种方法其实都是先把4.5和3.5看成45个0.1和35个0.1相乘，在运用整数乘法的计算方法求出45×35的结果后，将所得乘积还原成两位小数。计算步骤和原理基本相同：都是在小数乘小数的计算过程中，利用积不变的规律，把小数乘小数变成整数乘整数进行计算，再把乘积还原成小数。最后一种计算方法是运用乘法分配律进行计算，在算式整理后，不论计算4.5×3还是4.5×0.5最终还是要用到同前三种小数乘法相同的计算方法。从上初步归纳得出小数乘法的计算方法。
2.利用几何直观探究算理
利用几何图形直观的特点，将抽象的数字与平面图形有机结合，可以充分展现数学问题的本质，更好地完善学生的数学思维，助其突破数学学习难点。在学习小数与小数相乘时，笔者就借助了长方形面积计算来验证算理。
在学生初步建立小数乘小数的计算方法后，教师第一时间予以提醒：小数乘小数的计算，能不能通过图形计算来观察呢？
在展示边长分别为4.5m和3.5m的长方形并列出面积计算公式后，教师追问：4.5和3.5在图形中分别表示什么？45×0.1和35×0.1在图形中又分别表示什么？通过图形解析，学生明确4.5和3.5分别表示长方形的边长，由进率得到45×0.1和35×0.1分别表示45个0.1m和35个0.1m，建立起数字与图形的联系。
在此基础上，学生很容易理解0.1×0.1在图形中表示一个边长为0.1m的小正方形，即面积为0.01㎡的小正方形；进而理解1575×0.01表示求1575个面积为0.01㎡的正方形所组成的长方形的面积。由此来验证为什么在用整数乘法计算后还要点两位小数的算理。利用长方形面积计算的几何直观，使原本抽象枯燥的数学变得简单，帮助学生获得探索小数乘法算理的思考路径。
3.梳理计算方法理解算理
学习代数计算，最终要上升到对算法和算理的理解和掌握上。学生通过比较和分析各种计算方法，再借助平面图形面积测算，对两个小数相乘的计算已经有了一定认识。在此基础上，让学生复述小数乘小数竖式计算的过程和算理，并尝试总结小数乘法的计算方法，经过集体交流、归纳和总结，最终获得比较完整的小数乘法计算方法，并理解算理。
在引导学生获取并理解算理的同时，培养他们在数学计算中形成良好的学习习惯也必不可少。教师在学生理解算理后追问：在乘法计算后，我们如何判断是否计算正确呢？通过引导学生自主检查，学会小数乘法的验算，让学生意识到检查和验算的必要性。
三、多重练习完善体系
1.基础练习提升能力
恰当及时的基础练习，可以巩固学生所学，提升解决问题的能力。如例题，根据算式，直接在乘积上点出小数点。让学生进一步了解小数乘法计算时因数的小数位数与积的小数位数之间的关联。又如例题，利用同一乘法算式因数小数点的变化，让学生判断积的小数位数。这是对上一题的思维延伸。渗透小数乘法中积不变规律，为后续运算定律扩展到小数乘法计算做铺垫。
2.采用题组练习归纳
在计算中发现和总结规律是学生学习数学知识的实用技能，通过总结规律，让学生进一步明确小数乘小数的算理，并学会用规律性的知识去观察。题组练习可以为学生提供充分发现小数乘法计算规律的素材。如例题，先计算，再思考下面的问题：1.2×3=□，1.2×0.9=□；2.4×0.4=□，2.4×1.5=□。如何要把以上4道乘法进行分类，你会怎么分？
学生经过自主计算、观察、比较、分类和集体交流，发现积与因数之间的大小关系，再通过归纳和验证，明确小数乘法中，乘一个比1小的因数时，积就小于第一个因数（0除外），乘一个比1大的因数时，积就大于第一个因数（0除外）。让学生在自主计算中发现数学规律，培养数感，同时也为学生有效检验计算提供了一种全新思路。
