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是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=O有有理数根？-数学

[db:作者] 2019-02-09 00:00:00 互联网

题文

是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px²-qx+p=O有有理数根？
题型：解答题难度：中档

答案

设方程有有理数根，则判别式为平方数．令△=q²-4p²=n²，
规定其中n是一个非负整数．则（q-n）（q+n）=4p²．（5分）
由于1≤q-n≤q+n，且q-n与q+n同奇偶，故同为偶数，
因此，有如下几种可能情形：
q-n=2
q+n=2p2
、
q-n=4
q+n=p2
、
q-n=p
q+n=4p
、
q-n=2p
q+n=2p
、
q-n=p2
q+n=4.

消去n，解得q=p2+1，q=2+
p2
2
，q=
5p
2
，q=2p，q=2+
p2
2
．（10分）
对于第1，3种情形，p=2，从而q=5；
对于第2，5种情形，p=2，从而q=4（不合题意，舍去）；
对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）．
又当p=2，q=5时，方程为2x²-5x+2=0，它的根为x1=
1
2
，x2=2，它们都是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数．（15分）

据专家权威分析，试题“是否存在质数p．q，使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=O有有理数根..”主要考查你对有理数定义及分类，一元二次方程根的判别式等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类一元二次方程根的判别式

考点名称：有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数
                 整数{     零
                             负整数
有理数{
                            正分数
                分数{
                            负分数

（2）按有理数的性质分类:
                           正整数
               正数{
                           正分数
有理数{ 零
                           负整数
               负数{
                          负分数

考点名称：一元二次方程根的判别式

根的判别式：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；
定理2 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；
定理3 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；
定理5 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；
定理6 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/1/2019-02-09/541046.html十二生肖
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