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已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-（8p-10q）x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．-数学
[db:作者]  2019-02-09 00:00:00  互联网

题文

已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-（8p-10q）x+5pq=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）．
题型：解答题  难度：中档

答案

根据一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=8p-10q，
x1?x2=5pq，
质数都是正整数．所以5pq肯定是正整数，
有一根是正整数，x1x2肯定都是正整数，
可以知道有几种可能，
x1=5 x2=pq；x1=5p x2=q；x1=5q x2=p；x1=1，x2=5pq；
将x1，x2代入 x1+x2=8p-10q，
5+pq=8p-10q，（1）
p（q-8）+10（q-8）+80+5=0，
（q-8）（p+10）=-85=-5×17=-1×85，
q=3，p=7，或q=7，p=75（舍去），
5p+q=8p-10q，11q=3p，（2）
p=11，q=3，
5q+p=8p-10q，15q=7p，（3）
p=15，q=7（舍去），
5pq+1=8p-10q，（4）
5q（p+2）-8（p+2）+16+1=0，
（p+2）（5q-8）=-17，
p=15，q=
7
5
（舍去），p=-1，q=-
9
5
（舍去），q=
9
5
，p=-19（舍去），q=5，p=-3（舍去），
最后p=11，q=3，
或p=7，q=3．
故存在两对质数（11，3）和（7，3）．

据专家权威分析，试题“已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程x2-（8p-10q）x+5pq=0至少..”主要考查你对  有理数定义及分类，一元二次方程根与系数的关系  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类一元二次方程根与系数的关系

考点名称：有理数定义及分类

  • 有理数的定义：
    有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

  • 有理数的分类：
    （1）按有理数的定义：
                                  正整数 
                     整数{     零 
                                  负整数
    有理数{     
                                正分数 
                    分数{
                                负分数
     

    （2）按有理数的性质分类: 
                               正整数  
                   正数{ 
                               正分数
    有理数{  零
                               负整数 
                   负数{
                               负分数

考点名称：一元二次方程根与系数的关系

  • 一元二次方程根与系数的关系：
    如果方程 的两个实数根是那么，。
    也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

  • 一元二次方程根与系数关系的推论：
    1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p ， x1`x2=q
    2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
    提示：
    ①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。
    ②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
    ③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/1/2019-02-09/541482.html十二生肖
十二星座