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求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．-数学

[db:作者] 2019-02-09 00:00:00 互联网

题文

求所有的素数对（p，q），使得pq|5^p+5^q．
题型：解答题难度：中档

答案

若2|pq，不妨设p=2，则2q|5²+5^q，故q|5^q+25．
∵q|5^q-5，
∴q|30，即q=2，3，5．易验证素数对（2，2）不合要求，（2，3），（2，5）合乎要求．
若pq为奇数且5|pq，不妨设p=5，则5q|5⁵+5^q，故q|5^q-1+625．
当q=5时素数对（5，5）合乎要求，当q≠5时，由Fermat小定理有q|5^q-1-1，故q|626．由于q为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以q=313．经检验素数对（5，313）合乎要求．
若p，q都不等于2和5，则有pq|5^p-1+5^q-1，故5^p-1+5^q-1≡0（bmodp）．①
由Fermat小定理，得5^p-1≡1（bmodp），②
故由①，②得5^q-1≡-1（bmodp）．③
设p-1=2^k（2r-1），q-1=2^l（2s-1），其中k，l，r，s为正整数．
若k≤l，则由②，③易知1=12l-k(2s-1)≡(5p-1)2l-k(2s-1)=52l(2r-1)(2s-1)=(5q-1)2r-1≡(-1)2r-1≡-1 (bmodp)，
这与p≠2矛盾！所以k＞l．
同理有k＜l，两结论矛盾，即此时不存在合乎要求的（p，q）．
综上所述，所有满足题目要求的素数对（p，q）为：
（2，3），（3，2），（2，5），（5，2），（5，5），（5，313）及（313，5）．

据专家权威分析，试题“求所有的素数对（p，q），使得pq|5p+5q．-数学-”主要考查你对有理数定义及分类等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数定义及分类

考点名称：有理数定义及分类

有理数的定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。
有理数的分类：
（1）按有理数的定义：
                              正整数
                 整数{     零
                             负整数
有理数{
                            正分数
                分数{
                            负分数

（2）按有理数的性质分类:
                           正整数
               正数{
                           正分数
有理数{ 零
                           负整数
               负数{
                          负分数

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/1/2019-02-09/541582.html十二生肖
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