若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+2n+3n+4n能被10整除．-数学打印页面

若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+2n+3n+4n能被10整除．-数学

[db:作者] 2019-02-16 00:00:00 互联网

题文

若n是自然数且不是4的倍数，求证：1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．
题型：解答题难度：中档

答案

证明：设a=1ⁿ，b=2ⁿ，c=3ⁿ，d=4ⁿ，因为n不是4的倍数，可设n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3．
（1）当n=4k+1时，a=1^4k+1=1，b=2^4k+1=2?（2⁴）^k=2?（16）^k，
因为无论k为什么整数，（16）^k的个位数都是6，则2?（16）^k的个位数必为2，
c=3^4k+1=3?（81）^k，因为（81）^k的个位数都是1，则3?（81）^k的个位数必为3，
同理d=4^4k+1的个位数是4，故当n=4k+1时，a+b+c+d的个位数是1+2+3+4的个位数，即0，
所以能被10整除；
（2）当n=4k+2时，a=1^4k+2=1，b=2^4k+2=4?（2⁴）^k=4?（16）^k，
因为无论k为什么整数，（16）^k的个位数都是6，则4?（16）^k的个位数必为4，
c=3^4k+2=9?（81）^k，因为（81）^k的个位数都是1，则9?（81）^k的个位数必为9，
同理d=4^4k+2的个位数是6，故当n=4k+2时，a+b+c+d的个位数是1+4+9+6的个位数，即0，
所以能被10整除；
（3）当n=4k+3时，a=1^4k+3=1，b=2^4k+3=8?（2⁴）^k=8?（16）^k，
因为无论k为什么整数，（16）^k的个位数都是6，则8?（16）^k的个位数必为8，
c=3^4k+3=27?（81）^k，因为（81）^k的个位数都是1，则27?（81）^k的个位数必为7，
同理d=4^4k+3的个位数是4，故当n=4k+3时，a+b+c+d的个位数是1+8+7+4的个位数，即0，
所以能被10整除；
综上所述，当n不是4的倍数时，1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．

据专家权威分析，试题“若n是自然数且不是4的倍数，求证：1n+2n+3n+4n能被10整除．-数学-魔..”主要考查你对有理数除法等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

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