求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．-数学打印页面

求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．-数学

[db:作者] 2019-02-16 00:00:00 零零社区

题文

求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．
题型：解答题难度：中档

答案

原式=A=1×3×5×…×1999，
则A=（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×125×127×129）?…（1993×1995×1997×1999），
则A=125×[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]，
下面证明两个引理：
引理1：125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一
证明：设k为奇数，则k除以8余数只有1，3，5，7．
则k=8m+i，其中i=1，3，5，7，
那么
k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i，
即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一
引理2：四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
证明：设B=（2n+1）（2n+3）（2n+5）（2n+7）
=（4n²+8n+3）（4n²+24n+35）
当n=2m时，B≡1 mod（8）
当n=2m+1时，B≡1 mod（8）
综上，四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
∴[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]
≡1?1?…?（123×127×129）?…1mod（8），
≡5 mod（8），
∴A=125×（8k+5）=1000k+625，其中k为正整数．
综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625．

据专家权威分析，试题“求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字．-数学-”主要考查你对有理数除法等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

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