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求所有的正整数对（a，b），使得ab2+b+7整除a2b+a+b．-数学

[db:作者] 2019-02-16 00:00:00 互联网

题文

求所有的正整数对（a，b），使得ab²+b+7整除a²b+a+b．
题型：解答题难度：中档

答案

由条件ab²+b+7整除a²b+a+b，
显然ab²+b+7|a²b²+ab+b²，
而a²b²+ab+b²=a（ab²+b+7）+b²-7a，故ab²+b+7|b²-7a，
下面分三种情况讨论；
情形一：b²-7a＞0；这时b²-7a＜b²＜ab²+b+7，矛盾；
情形二：b²=7a，此时a，b应具有a=7k²，b=7k，k是正整数的形式，显然（a，b）=（7k²，7k）满足条件；
情形二：b²-7a＜0，这时由7a-b²≥ab²+b+7，则b²＜7，
进而b=1或2，当b=1时，则条件
a2+a+1
a+8
=a-7+
57
a+8
为正整数，
57能被a+8整除，可知a+8=19或57，进而知a=11或49，
解得（a，b）=（11，1）或（49，1）；
当b=2时，由
7a-4
4a+9
（＜2）为正整数，可知
7a-4
4a+9
=1，此时a=
13
3
，矛盾；
综上，所有解为（a，b）=（11，1），（49，1）或（7k²，7k）（k是正整数）．

据专家权威分析，试题“求所有的正整数对（a，b），使得ab2+b+7整除a2b+a+b．-数学-”主要考查你对有理数除法等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数除法

考点名称：有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

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