已知a、b、c为整数，且满足3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求(1a+1b+1c)abc的值．-数学打印页面

已知a、b、c为整数，且满足3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求(1a+1b+1c)abc的值．-数学

[db:作者] 2019-02-19 00:00:00 零零社区

题文

已知a、b、c为整数，且满足3+a²+b²+c²＜ab+3b+2c，求(
1
a
+
1
b
+
1
c
)abc的值．
题型：解答题难度：中档

答案

由a、b、c均为整数，a²+b²+c²+3＜ab+3b+2c，得
a²+b²+c²+3≤ab+3b+2c-1
∴4a²+4b²+4c²+12≤4ab+12b+8c-4
（4a²-4ab+b²）+（3b²-12b+12）+（4c²-8c+4）≤0
（2a-b）²+3（b²-4b+4）+4（c²-2c+1）≤0
（2a-b）²+3（b-2）²+4（c-1）²≤0
∴2a-b=0，b-2=0，c-1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴(
1
a
+
1
b
+
1
c
)abc=
25
4
．

据专家权威分析，试题“已知a、b、c为整数，且满足3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求(1a+1b+1c)ab..”主要考查你对有理数的乘方，代数式的求值等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

有理数的乘方代数式的求值

考点名称：有理数的乘方

有理数乘方的定义：
求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
2²、7³也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的2次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数,6、3叫做指数。
①习惯上把2²叫做2的平方，把2³叫做2的立方；
②当地鼠是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写得小些。
乘方的性质：
乘方是乘法的特例，其性质如下：
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何（除0以外）次幂都是0；
（4）a²是一个非负数，即a²≥0。
有理数乘方法则：
①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如：（-2）³=-8，（-2）²=4
②正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.例如：2²=4,2³=8,0³=0

点拨：
①0的次幂没意义；
②任何有理数的偶次幂都是非负数；
③由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成；
④负数的乘方与乘方的相反数不同。
乘方示意图：

考点名称：代数式的求值

代数式的值：
用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。
代数式求值的步骤：
（1）代入；
（2）计算。
常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。
注：代数式的值的取值条件：
（1）不能使代数式失去意义；
（2）不能使所表示的实际问题失去意义。
求代数式的值的方法：
①给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后计算。
②给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式。
③在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。

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