有下面3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；②存在两个不同的无理数，它们的差是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数，先判断这3个结论分-九年级数学打印页面

有下面3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；②存在两个不同的无理数，它们的差是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数，先判断这3个结论分-九年级数学

[db:作者] 2019-02-21 00:00:00 零零社区

题文

有下面3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；②存在两个不同的无理数，它们的差是整数；③存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数，先判断这3个结论分别是正确还是错误的，如果正确，请举出符合结论的两个数。
题型：解答题难度：中档

答案

解：；；；÷=2。

据专家权威分析，试题“有下面3个结论：①存在两个不同的无理数，它们的积是整数；②存在两..”主要考查你对无理数的定义，有理数加法，有理数除法等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

无理数的定义有理数加法有理数除法

考点名称：无理数的定义

无理数定义：
即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有大部分的平方根、π和e（其中后两者同时为超越数）等。
无理数是无限不循环小数。如圆周率π、等。
无理数性质：
无限不循环的小数就是无理数。换句话说，就是不可以化为整数或者整数比的数
性质1 无理数加（减）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质2 无理数乘（除）无理数既可以是无理数又可以是有理数
性质3 无理数加（减）有理数一定是无理数
性质4 无理数乘（除）一个非0有理数一定是无理数
无理数与有理数的区别：
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如：4=4.0，=0.8，=0.33333……
而无理数只能写成无限不循环小数，
比如：=1.414213562…………
根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数；
2、所有的有理数都可以写成两个整数之比,而无理数不能。根据这一点，有人建议给无理数摘掉，把有理数改叫为“比数”，把无理数改叫为“非比数”。
无理数的识别：
判断一个数是不是无理数，关键就看它能不能写出无限不循环小数，而把无理数写成无限不循环小数，不但麻烦，而且还是我们利用现有知识无法解决的难题。
初中常见的无理数有三种类型：
（1）含根号且开方开不尽的方根，但切不可认为带根号的数都是无理数；
（2）化简后含π的式子；
（3）不循环的无限小数。
掌握常见无理数的类型有助于识别无理数。
无理数的历史：
毕达哥拉斯（Pythagqras,约公元前885年至公元前400年间）是古希腊的大数学家。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理（勾股弦定理），即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出“凡物皆数”的观点，数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。在他死后大约200年，他的门徒们把这种理论加以研究发展，形成了一个强大的毕达哥拉斯学派。
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。
希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。
不可约的本质是什么？长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名“无理数”——这就是无理数的由来。

考点名称：有理数加法

有理数的加法：
把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。
有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反的两个数相加得0；
（4）一个数同0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a；
（2）加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)。
几个有理数相加常用方法：
①.运用加法运算律把同号的加数相加，再把异号的加数相加；
②.应用运算律把可以凑整的加数相加；
③.运用运算律把互为相反数的加数相加。

用加法的运算律进行简便运算的基本思路：
①先把互为相反数的数相加；
②把同分母的分数先相加；
③把符号相同的数先相加；
④把相加得整数的数先相加。

注意事项：
有理数的加法与小学的加法有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：
一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。
在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那一条法则。
在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了。
多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

记忆要点：
同号相加不变，异号相加变减。欲问符号怎么定，绝对值大号选。

考点名称：有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。
有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。
有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

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