通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2≥0可知：a2+b22≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，a+b2≥______（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或-数学打印页面

通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2≥0可知：a2+b22≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，a+b2≥______（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或-数学

[db:作者] 2019-03-14 00:00:00 互联网

题文

通过观察a²+b²-2ab=（a-b）²≥0可知：
a2+b2
2
≥ab，与此类比，当a≥0，b≥0时，
a+b
2
≥______（要求填写），你观察得到的这个不等式是一个重要不等式，它在证明不等式和求函数的极大值或者极小值中非常有用．请你运用上述不等式解决下列问题：
（1）求证：当x＞0时，x+
1
x
≥2；
（2）求证：当x＞1时，x+
1
x-1
≥3；
（3）2x2+
1
x2+1
的最小值是______．
题型：解答题难度：中档

答案

∵（
a
）²+（
b
）²-2
ab
=（
a
-
b
）²≥0，
即a+b-2
ab
≥0，
∴
a+b
2
≥
ab
；

（1）证明：∵x＞0，
∴x+
1
x
≥2
x?
1
x
=2，
即x+
1
x
≥2；

（2）证明：∵x＞1，
∴x+
1
x-1
=（x-1）+
1
x-1
+1≥2
(x-1)?
1
x-1
+1=2+1=3，
即x+
1
x-1
≥3；

（3）2x²+
1
x2+1
=2（x²+1）+
1
x2+1
-2≥2
2(x2+1)?
1
x2+1
-2=2
2
-2，
∴2x²+
1
x2+1
的最小值为2
2
-2．
故答案为：
ab
，（4）2
2
-2．

据专家权威分析，试题“通过观察a2+b2-2ab=（a-b）2≥0可知：a2+b22≥ab，与此类比，当a≥0，b..”主要考查你对不等式的定义等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

不等式的定义

考点名称：不等式的定义

不等式的定义：
一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。
不等式组的定义：几个含有相同未知数的不等式联立起来，叫做不等式组。
不等式分类：
不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为<，≥，> 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
不等式的判定：
①常见的不等号有“>”“<”“≤” “≥”及“≠”。分别读作“大于，小于，小于等于，大于等于，不等于”，其中“≤”又叫作不大于，“≥”叫作不小于；
②在不等式“a>b”或“a<b”中，a叫作不等式的左边，b叫作不等式的右边；
③不等号的开口所对的数较大，不等号的尖头所对的数较小；
④在列不等式时，一定要注意不等式关系的关键字，如：正数、非负数、不大于、小于等等。

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