如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN．设AM=x．（1）如果CD=3，AM=CM，求AM的长；（2）如果CD=3，点N在边-九年级数学打印页面

如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN．设AM=x．（1）如果CD=3，AM=CM，求AM的长；（2）如果CD=3，点N在边-九年级数学

[db:作者] 2019-03-20 00:00:00 互联网

题文

如图，在△ABC中，AC = BC，AB = 8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC = MN．设AM = x．

（1）如果CD = 3，AM = CM，求AM的长；
（2）如果CD = 3，点N在边BC上．设CN = y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果∠ACB = 90°，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试判断线段ME的长是否会改变？说明你的理由．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）（2），（3）线段ME的长不变，理由见解析
解：（1）∵ AC = BC，∴ ∠A =∠B．
∵ AC = BC，CD⊥AB，∴ ．……………………（1分）
由勾股定理，得．………………（1分）
∵ AM = CM，∴ ∠A =∠ACM．
即得 ∠ACM =∠B．
∴ △ACM∽△ABC．…………………………………………………（1分）
∴ ．∴ ．即得．………………（1分）
（2）过点M作MF⊥BC，垂足为点F．
由 AM = x，得 BM =" 8" –x．
∵ MF⊥BC，CD⊥AB，
∴∠MFB =∠ADC = 90°．
又∵ ∠A =∠B，∴ △MBF∽△ACD．……………………………（2分）
∴ ．即得．
∴ ．
∴ ．…………………………（1分）
∵ MC = MN，MF⊥BC，
∴ ．
即得．……………………………………………………（1分）
定义域为．………………………………………………（1分）
（3）当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．…………（1分）
由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．
∵ AC = BC，∠ACB = 90°，∴ ∠A =∠B = 45°．
又∵ AC = BC，CD⊥AB，AB = 8，
∴ CD = BD = 4．
即得．
∵ MC = MN，∴ ∠MCN =∠MNC．
∵ ∠MCN =∠MCD +∠BCD，∠MNC =∠B +∠BMN，
∴ ∠MCD =∠NME．
又∵ CD⊥AB，NE⊥AB，∴ ∠CDM =∠MEN = 90°．
∴ △MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）
（ⅱ）如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
于是，由 ∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°，
∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°，
∠MCN =∠MNC，
得 ∠MCD =∠BMN．
再由 MC = MN，∠CDM =∠MEN = 90°，
得 △MCD≌△MNE（A．A．S）．
∴ ME = CD = 4．……………………………………………………（2分）
∴　　由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．
（1）由勾股定理求得AC=5，然后利用相似三角形的相似比求出；
（2）证明△MBF∽△ACD，可得；
（3）注意点N在射线CB上，应该包括两种情况：点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．

据专家权威分析，试题“如图，在△ABC中，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一..”主要考查你对一次函数的定义，正比例函数的定义，正比例函数的图像等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的定义正比例函数的定义正比例函数的图像

考点名称：一次函数的定义

一次函数的定义：
在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k、b为常数，k≠0)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量。
①正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数；
②一般情况下，一次函数的自变量的取值范围时全体实数；
③如果一个函数是一次函数，则含有自变量x的式子是一次的，系数k不等于0，而b可以为任意实数。
一次函数基本性质：
1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。

2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。

3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

4．在两个一次函数表达式中：
当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5．两个一次函数（y1=k₁x+b₁,y₂=k₂x+b₂)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
该函数的对称轴为－（k₂b₁+k₁b₂)/(2k₁k₂)；
当k₁,k₂正负相同时，二次函数开口向上；
当k₁,k₂正负相反时，二次函数开口向下。
二次函数与y轴交点为（0，b₂b₁)。

6．两个一次函数(y₁=ax+b,y₂=cx+d)之比，得到的新函数y₃=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。
一次函数的判定：
①判断一个函数是否是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b的形式；
②当k≠0，b=0时，这个函数即是k≠0一次函数，k≠0又是正比例函数；
③当k=0，b≠0时，这个函数不是一次函数；
④一次函数的一般形式是关于x的一次二项式，它可以转化为含x、y的二元一次方程。

考点名称：正比例函数的定义

正比例函数定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）
当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
正比例函数性质：
定义域
R（实数集）

值域
R（实数集）

奇偶性
奇函数

单调性
当k>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；
当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数。

周期性
不是周期函数。

对称性
对称点：关于原点成中心对称
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线

考点名称：正比例函数的图像

图象：一条经过原点的直线。
性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值；
2、根据第一步求的x、y的值描出点；
3、作出第二步描出的点和原点的直线（因为两点确定一直线）。
<?xml:namespace prefix = "v" ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />正比例函数的图像：
<?xml:namespace prefix = "o" ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/65/2019-03-20/874455.html十二生肖
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