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如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点。将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN。点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部。（1）求线段AC的长-九年级数学
[db:作者]  2019-03-24 00:00:00  零零社区

题文

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点。将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN。点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部。
（1）求线段AC的长；
（2）当轴，且四边形ABCD为梯形时，求△BCD的面积；
（3）求△BCD周长的最小值；
（4）当△BCD的周长取得最小值，且时，△BCD的面积为_____________。（第（4）问只需填写结论，不要求书写过程）
题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于C、A两点，
∴点C的坐标为，点A的坐标为（0，2）。
∴AC＝4。
（2）如图1，当AD∥BC时， 可知∠DAB＝45°，∴∠ABO＝45°。∴OB＝OA＝2。



如图2，当AB∥DC时，可得
设射线AN交x轴于点E。
∵AD∥x轴，
∴四边形AECD为平行四边形。

综上所述，当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时， （3）如图3，作点C关于射线AM的对称点，点C关于射线AN的对称点。
由轴对称的性质，可知
连结、，
可得

连结。
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与、在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段的长。∴△BCD的周长的最小值为。
（4）

据专家权威分析，试题“如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点。将射..”主要考查你对  一次函数的图像，轴对称，勾股定理，平行四边形的性质，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

一次函数的图像轴对称勾股定理平行四边形的性质梯形，梯形的中位线

考点名称：一次函数的图像

  • 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系
    一次函数的图象：一条直线，过（0，b），（，0）两点。

  • 性质：
    （1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
    （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。

    k，b决定函数图像的位置：
    y=kx时，y与x成正比例：
    当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
    当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
    y=kx+b时：
    当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
    当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
    当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
    当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
    当b>0时，直线必通过第一、二象限；
    当b<0时，直线必通过第三、四象限。
    特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。
    这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。
    当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

  • 特殊位置关系：
    当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
    当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的

  • 画法：
    （1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
    （2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
    一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
    正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。
    （3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。

考点名称：轴对称

  • 轴对称的定义：
    把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合 ，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

  • 轴对称的性质：
    （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
    （2）对应线段相等，对应角相等；
    （3）关于某直线对称的两个图形是全等图形。

  • 轴对称的判定：
    如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
    这样就得到了以下性质：
    1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
    3.线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。　
    4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

    轴对称作用:
    可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
    可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
    扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

    轴对称的应用:
    关于平面直角坐标系的X,Y对称意义
    如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。
    相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

    关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )
    设二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c
    则二次函数的对称轴为直线 x=-b/2a,顶点横坐标为 -b/2a,顶点纵坐标为 (4ac-b2)/4a

    在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
    譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；
    矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；
    正方形，菱形问题经常添设对角线等等。
    另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，
    或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

考点名称：勾股定理

  • 勾股定理:
    直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
    勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

  • 定理作用
    ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
    ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
    ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
    ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

  • 勾股定理的应用：
    数学
    从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
    勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。

    生活
    勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
    1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
    第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
    第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
    第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
    屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
    2、2005年珠峰高度复测行动。
    测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
    通俗来说，就是分三步走：
    第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
    第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
    第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。

考点名称：平行四边形的性质

  • 平行四边形的概念：
    两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
    平行四边形用符号“□ABCD，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作ABCD”。
    ①平行四边形属于平面图形。
    ②平行四边形属于四边形。
    ③平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
    ④平行四边形属于中心对称图形。

  • 平行四边形的性质：
    主要性质
    （矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
    （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
    （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
    （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
    （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
    （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补
    （简述为“平行四边形的邻角互补”）
    （4）夹在两条平行线间的平行线段相等。
    （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
    （简述为“平行四边形的对角线互相平分”）
    （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）
    （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）
    （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
    （9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
    （10）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形。
    注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

    （11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
    （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
    （13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。
    （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
    （15）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等。

考点名称：梯形，梯形的中位线

  • 梯形的定义：
    一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
    梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
    梯形的中位线：
    连结梯形两腰的中点的线段。 

  • 梯形性质：
    ①梯形的上下两底平行；
    ②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。
    ③等腰梯形对角线相等。

    梯形判定：
    1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
    2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

    梯形中位线定理：
    梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
    梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积
    梯形中位线到上下底的距离相等
    中位线长度=（上底+下底）

    梯形的周长与面积：
    梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。
    等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
    梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。
    变形1：h=2s÷（a+b）；
    变形2：a=2s÷h-b；
    变形3：b=2s÷h-a。
    另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。
    对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。

  • 梯形的分类：


    等腰梯形：两腰相等的梯形。
    直角梯形：有一个角是直角的梯形。

    等腰梯形的性质：
    （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
    （2）等腰梯形的对角线相等。
    （3）等腰梯形是轴对称图形。

    等腰梯形的判定：
    （1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
    （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
    （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。



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