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如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D。（1）求点G的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在直线CD上和平面内是否分别存在-九年级数学
[db:作者]  2019-03-24 00:00:00  互联网

题文

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D。

（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由。
题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB，
∴G点为OB的中点
∵
∴。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H
在Rt△ABO中，∠ABO=30°，
∴
即
又∵CD垂直平分AB
∴BC=2，
在Rt△CBH中，CH=BC=1，
∴
∴
∵∠DGO=60°
∴
∴
∴D（0，4）
设直线CD的解析式为：y=kx+b
则
解得
∴。
（3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形
①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形
设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30°
∴OE=2，
∴
②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，
延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30°
∴
∴
∴
③如图，当PD=DQ=QO=OP=时，四边形DOPQ为菱形，
在Rt△DQM中，∠MDQ=30°，
∴
∴。
④如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形，
设PQ交x轴于点N，此时∠OQP=∠ODQ=30°
在Rt△ONQ中，
∴
∴
综上所述，满足条件的点Q共有四点：，（，-2）。

据专家权威分析，试题“如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，边AB的垂直平分线CD分..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用，菱形，菱形的性质，菱形的判定，垂直平分线的性质  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用菱形，菱形的性质，菱形的判定垂直平分线的性质

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式：
    先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用：
    应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
    （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
    （2）注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
    第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
    第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
    第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
    第四步（写）：写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题：
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
    （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用：
    1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

  • 一次函数应用常用公式：
    1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)
    （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
    （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
    （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
    （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1
    10.
    y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
    y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

考点名称：菱形，菱形的性质，菱形的判定

  • 菱形的定义:
    在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

  • 菱形的性质:
    ①菱形具有平行四边形的一切性质；
    ②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；
    ③菱形的四条边都相等；
    ④菱形既是轴对称图形（两条对称轴分别是其两条对角线所在的直线），也是中心对称图形（对称中心是其重心，即两对角线的交点）；
    ⑤在有一个角是60°角的菱形中，较短的对角线等于边长，较长的对角线是较短的对角线的根号3倍。

  • 菱形的判定:
    在同一平面内，
    （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
    （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形
    （3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
    菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。

考点名称：垂直平分线的性质

  • 垂直平分线的概念：
    垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。
    如图：直线MN即为线段AB的垂直平分线。

  • 垂直平分线的性质：
    1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
    2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
    逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
    3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
    4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相 等。
    （此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。）

    判定：
    ①利用定义；
    ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
    （即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）

  • 尺规作法：（用圆规作图）
    1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
    2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的异侧)。
    3、连接这两个交点。
    原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/67/2019-03-24/886653.html十二生肖
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