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已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位-八年级数学
[db:作者]  2019-03-24 00:00:00  互联网

题文

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动，当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。
（1）求B点坐标；
（2）设运动时间为t秒；
①当t为何值时，四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半；
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；
③若另有一动点P，在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动，在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小，求动点P的速度。

题型：解答题  难度：偏难

答案

解：（1）作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，
∴OD=AB=10，
∴CD=OC-OD=12，
∴OA=BD==9，
∴B（10，9）；
（2）①由题意知：AM=t，ON=OC-CN=22-2t，
∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半，
∴，
∴t=6；
②设四边形OAMN的面积为S，则，
∵0≤t≤10，且s随t的增大面减小，
∴当t=10时，s最小，最小面积为54；
③如备用图，取N点关于y轴的对称点N′，连结MN′交AO于点P，
此时PM+PN=PM+PN′=MN长度最小。
当t=10时，AM=t=10=AB，ON=22-2t=2，
∴M（10，9），N（2，0），
∴N′（-2，0），
设直线MN′的函数关系式为y=kx+b，
则，解得，
∴P（0，），
∴AP=OA-OP=，
∴动点P的速度为个单位长度/ 秒。

据专家权威分析，试题“已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用，勾股定理，梯形，梯形的中位线  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用勾股定理梯形，梯形的中位线

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式：
    先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用：
    应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
    （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
    （2）注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
    第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
    第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
    第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
    第四步（写）：写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题：
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
    （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用：
    1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

  • 一次函数应用常用公式：
    1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)
    （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
    （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
    （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
    （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1
    10.
    y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
    y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

考点名称：勾股定理

  • 勾股定理:
    直角三角形两直角边(即“勾”，“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说，如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么。
    勾股定理只适用于直角三角形，应用于解决直角三角形中的线段求值问题。

  • 定理作用
    ⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
    ⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
    ⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
    ⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

  • 勾股定理的应用：
    数学
    从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数。
    勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，较早的应用案例有《九章算术》中的一题：“今有池，芳一丈，薛生其中央，出水一尺，引薛赴岸，适与岸齐，问水深几何？答曰："一十二尺"。

    生活
    勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
    1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点：
    第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
    第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
    第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
    屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1.5m，高为1.1m。
    2、2005年珠峰高度复测行动。
    测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
    通俗来说，就是分三步走：
    第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
    第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
    第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。

考点名称：梯形，梯形的中位线

  • 梯形的定义：
    一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
    梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，梯形的两底的距离叫做梯形的高。
    梯形的中位线：
    连结梯形两腰的中点的线段。 

  • 梯形性质：
    ①梯形的上下两底平行；
    ②梯形的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）平行于两底并且等于上下底和的一半。
    ③等腰梯形对角线相等。

    梯形判定：
    1.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
    2.一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

    梯形中位线定理：
    梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
    梯形中位线×高=（上底+下底）×高=梯形面积
    梯形中位线到上下底的距离相等
    中位线长度=（上底+下底）

    梯形的周长与面积：
    梯形的周长公式：上底+下底+腰+腰，用字母表示：a+b+c+d。
    等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰，用字母表示：a+b+2c。
    梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2，用字母表示：S=（a+b）×h。
    变形1：h=2s÷（a+b）；
    变形2：a=2s÷h-b；
    变形3：b=2s÷h-a。
    另一计算梯形的面积公式： 中位线×高，用字母表示：L·h。
    对角线互相垂直的梯形面积为：对角线×对角线÷2。

  • 梯形的分类：


    等腰梯形：两腰相等的梯形。
    直角梯形：有一个角是直角的梯形。

    等腰梯形的性质：
    （1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等。
    （2）等腰梯形的对角线相等。
    （3）等腰梯形是轴对称图形。

    等腰梯形的判定：
    （1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形
    （2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
    （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。



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