如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与-九年级数学打印页面

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如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与-九年级数学

[db:作者] 2019-03-24 00:00:00 零零社区

题文

如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm²）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

题型：解答题难度：偏难

答案

解：（1）如图1，当t=1秒时，
AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2
由S=S_梯形GCBE﹣S_△EBF﹣S_△FCG=×（EB+CG）·BC﹣EB·BF﹣FC·CG
=×（10+2）×8﹣×10×4﹣×4×2
=24（cm²）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，
点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，
S=S_梯形GCBE﹣S_△EBF﹣S_△FCG=×（EB+CG）·BC﹣EB·BF﹣FC·CG
=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t×（12﹣2t）﹣×2t×（8﹣4t）
=8t²﹣32t+48．
即S=8t²﹣32t+48；
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得：t=4；
当2<t<4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，
此时CF=4t﹣8，CG=2t，FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，
S=FG·BC
=×（8﹣2t）×8
=﹣8t+32．
即S=﹣8t+32；
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2，
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，
①若=，即=，
解得：t=．
又t=满足0≤t≤2，
∴当t=时，△EBF∽△FCG；
②若=，即=，
解得：t=．
又t=满足0≤t≤2，
∴当t=时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
图1

图2

据专家权威分析，试题“如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C..”主要考查你对求一次函数的解析式及一次函数的应用，求二次函数的解析式及二次函数的应用，三角形的周长和面积，矩形，矩形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用求二次函数的解析式及二次函数的应用三角形的周长和面积矩形，矩形的性质，矩形的判定相似三角形的判定

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

待定系数法求一次函数的解析式：
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。

一次函数的应用：
应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
第四步（写）：写出该函数的解析式。

一次函数的应用涉及问题：
一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
合实际。

二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数

三、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
一次函数应用常用公式：
1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
10.
y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

考点名称：求二次函数的解析式及二次函数的应用

求二次函数的解析式：
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：
理解题意；
建立数学模型；
解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：
即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
二次函数的三种表达形式：
①一般式：
y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

②顶点式：
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：
当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；
当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。

③交点式：
y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0] .
已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我们可设y=a(x-x₁)(x-x₂),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：
二次函数
∵x₁+x₂=-b/a， x₁?x₂=c/a(由韦达定理得),
∴y=ax2+bx+c
=a(x2+b/ax+c/a)
=a[x2-(x₁+x₂)x+x₁?x₂]
=a(x-x₁)(x-x₂).
重要概念：
a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；
a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；
能熟练地运用二次函数解决实际问题。
二次函数的其他表达形式：
①牛顿插值公式:
f(x)=f[x₀]+f[x₀,x₁](x-x₀)+f[x₀,x₁,x₂](x-x₀)(x-x₁)+...f[x₀,...x_n](x-x₀)...(x-_xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式
y=a(x-x₁)*(x-x2)
若ax2+bx+c=0有两个实根x₁,x₂，则y=a(x-x₁)(x-x₂)此抛物线的对称轴为直线x=(x₁+x₂)/2。

③三点式
已知二次函数上三个点，（x₁,f(x₁)）（x₂,f(x₂)）（x₃,f(x₃)）
则f(x)=f(x₃)(x-x₁)(x-x₂)/(x₃-x₁)(x₃-x₂)+f(x₂)(x-x₁)*(x-x₃)/(x₂-x₁)(x₂-x₃)+f(x₁)(x-x₂)(x-x₃)/(x₁-x₂)(x₁-x₃)
与X轴交点的情况
当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x₁,0), (x₂,0);
当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。
Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
二次函数解释式的求法：
就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。

1.巧取交点式法：
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x₁)(x－x₂) （a≠0）x₁，x₂分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。
①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。
例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。
点拨：
解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，
∵过点（2，8），
∴8＝a(2+2)(2-1)。
解得a=2，
∴抛物线的解析式为：
y＝2(x+2)(x-1)，
即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。
例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。
点拨：
在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。

2.巧用顶点式：
顶点式y=a(x－h)²+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。
例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。
点拨：
解∵顶点坐标为（-1，-2），
故设二次函数解析式为y=a(x+1)²-2 （a≠0）。
把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)²-2。
∴a=3。
∴二次函数的解析式为y=3(x+1)²-2，即y=3x²+6x+1。

②典型例题二：
如果a>0，那么当时，y有最小值且y_最小=；
如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y_最大=。
告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。
例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。
点拨：
析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。
由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。
∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。
故可设函数解析式为y＝a(x－4)²－3。
将（1，0）代入得0＝a(1－4)²－3, 解得a＝13．
∴y＝13(x－4)²-3，即y＝13x²－83x＋73。
③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。
例如：
（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.
（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．

④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。
例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。
点拨：
解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。
∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，
∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。

考点名称：三角形的周长和面积

三角形的概念：
由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

构成三角形的元素：
边：组成三角形的线段叫做三角形的边；
顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；
内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段；
（2）三条线段不在同一直线上；
（3）首尾顺次相接。

三角形的表示：
用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。
三角形的分类：
（1）三角形按边的关系分类如下：
；
（2）三角形按角的关系分类如下：

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
三角形的周长和面积：
三角形的周长等于三角形三边之和。
三角形面积=（底×高）÷2。

考点名称：矩形，矩形的性质，矩形的判定

矩形:
是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
矩形的性质：
1．矩形的4个内角都是直角；
2．矩形的对角线相等且互相平分；
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积：S_矩形=长×宽=ab。
黄金矩形:
宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

考点名称：相似三角形的判定

相似三角形：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
互为相似形的三角形叫做相似三角形。

例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'
相似三角形的判定：
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似：
（1）.两个全等的三角形
（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）
（2）.两个等腰三角形
（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。）
（3）.两个等边三角形
(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　
（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
相似三角形判定方法：
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
一、（预备定理）
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）
二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。
三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。
四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似
五（定义）
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形
六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。
七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。
八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc

易失误
比值是一个具体的数字如：AB/EF=2
而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/67/2019-03-24/888818.html十二生肖
十二星座