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题文
如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣ x+b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由． |
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题型：解答题 难度：偏难
答案
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b= ；
若直线经过点B（3，1）时，则b= ；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1<b≤ ，
如图1，此时E（2b，0），
∴S= OE·CO= ×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 <b< ，如图2，
此时E（3， ），D（2b﹣2，1），
∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3﹣[ （2b﹣2）×1+ ×（5﹣2b）·（ ﹣b）+ ×3（b﹣ ）]
= b﹣b2，
∴ ；
（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知：∠MED=∠NED，
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题意知，D（2b﹣2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，
∴HN=HE﹣NE=2﹣a，
设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，
由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，
∴a= ，
∴S四边形DNEM=NE·DH= ．
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ． |
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据专家权威分析，试题“如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1）..”主要考查你对 求一次函数的解析式及一次函数的应用，一次函数的图像，轴对称，矩形，矩形的性质，矩形的判定 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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，0）两点。 
