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已知一次函数y=-34x+6的图象与坐标轴交于A、B点(如图),AE平分∠BAO,交x轴于点E.(1)求点B的坐标;(2)求直线AE的表达式;(3)过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接OF,试判断△OFB的形状-数学

[db:作者]  2019-03-24 00:00:00  零零社区

题文

已知一次函数y=-
3
4
x+6的图象与坐标轴交于A、B点(如图),AE平分∠BAO,交x轴于点E.

(1)求点B的坐标;
(2)求直线AE的表达式;
(3)过点B作BF⊥AE,垂足为F,连接OF,试判断△OFB的形状,并求△OFB的面积.
(4)若将已知条件“AE平分∠BAO,交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点(点E不与点O、B重合)”,过点B作BF⊥AE,垂足为F.设OE=x,BF=y,试求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域.
题型:解答题  难度:中档

答案


(1)对于y=-
3
4
x+6,
当x=0时,y=6;当y=0时,x=8,
∴OA=6,OB=8,
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB=10,
则A(0,6),B(8,0);

(2)过点E作EG⊥AB,垂足为G(如图1所示),
∵AE平分∠BAO,EO⊥AO,EG⊥AG,
∴EG=OE,
在Rt△AOE和Rt△AGE中,

AE=AE
EO=EG

∴Rt△AOE≌Rt△AGE(HL),
∴AG=AO,
设OE=EG=x,则有BE=8-x,BG=AB-AG=10-6=4,
在Rt△BEG中,EG=x,BG=4,BE=8-x,
根据勾股定理得:x2+42=(8-x)2
解得:x=3,
∴E(3,0),
设直线AE的表达式为y=kx+b(k≠0),
将A(0,6),E(3,0)代入y=kx+b得:

b=6
3k+b=0

解得:

b=6
k=-2

则直线AE的表达式为y=-2x+6;

(3)延长BF交y轴于点K(如图2所示),
∵AE平分∠BAO,
∴∠KAF=∠BAF,
又BF⊥AE,
∴∠AFK=∠AFB=90°,
在△AFK和△AFB中,

∠KAF=∠BAF
AF=AF
∠AFK=∠AFB

∴△AFK≌△AFB,
∴FK=FB,即F为KB的中点,
又∵△BOK为直角三角形,
∴OF=
1
2
BK=BF,
∴△OFB为等腰三角形,
过点F作FH⊥OB,垂足为H(如图2所示),
∵OF=BF,FH⊥OB,
∴OH=BH=4,
∴F点的横坐标为4,
设F(4,y),将F(4,y)代入y=-2x+6,得:y=-2,
∴FH=|-2|=2,
则S△OBF=
1
2
OB?FH=
1
2
×8×2=8;

(4)在Rt△AOE中,OE=x,OA=6,
根据勾股定理得:AE=

OE2+OA2
=

x2+36

又BE=OB-OE=8-x,S△ABE=
1
2
AE?BF=
1
2
BE?AO(等积法),
∴BF=
BE?AO
AE
=
6(8-x)

x2+36
(0<x<8),又BF=y,
则y=
6(8-x)

x2+36
(0<x<8).

据专家权威分析,试题“已知一次函数y=-34x+6的图象与坐标轴交于A、B点(如图),AE平分∠B..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称:求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式:
    先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中的未知系数,从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用:
    应用一次函数解应用题,一般是先写出函数解析式,在依照题意,设法求解。
    (1)有图像的,注意坐标轴表示的实际意义及单位;
    (2)注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤:
    第一步(设):设出函数的一般形式。(称一次函数通式)
    第二步(代):代入解析式得出方程或方程组。
    第三步(求):通过列方程或方程组求出待定系数k,b的值。
    第四步(写):写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题:
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数,要特别注意自变量取值范围的划分,既要科学合理,又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时,可以分析这些变量的关系,选取其中一个变量作为自变量,然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    (1)简单的一次函数问题:①建立函数模型的方法;②分段函数思想的应用。
    (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定,水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b(未挂重物时的长度)一定时,弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数,即y=kx+b(k为任意正数)

  • 一次函数应用常用公式:
    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点:(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点:(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长:√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标:解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标:[(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式:(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0,则分子为0)
    (x,y)为 + ,+(正,正)时该点在第一象限
    (x,y)为 - ,+(负,正)时该点在第二象限
    (x,y)为 - ,-(负,负)时该点在第三象限
    (x,y)为 + ,-(正,负)时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2,则k1=k2,b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2,则k1×k2=-1
    10.
    y=k(x-n)+b就是直线向右平移n个单位
    y=k(x+n)+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决:左加右减相对于x,上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点:(-b/k,0) 与y轴的交点:(0,b)



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