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如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠ABC=90°，A、B在x轴上，点D在y轴上，若tan∠OAD=43，B点的坐标为（5，0）．（1）求直线AC的解析式；（2）若点Q、P分别-数学
[db:作者]  2019-03-24 00:00:00  零零社区

题文

如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠ABC=90°，A、B在x轴上，点D在y轴上，若tan∠OAD=
4
3
，B点的坐标为（5，0）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点Q、P分别从点C、A同时出发，点Q沿线段CA向点A运动，点P沿线段AB向点B运动，Q点的速度为每秒

5
个单位长度，P点的速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过P点作PQ的垂线交直线CD于点M，在P、Q运动的过程中，是否在平面内有一点N，使四边形QPMN为正方形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）∵tan∠OAD=
4
3
，且tan∠OAD=
DO
AO
，
∴
DO
AO
=
4
3
．
设DO=4x，AO=3x，在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AD=4x．
∵AD=CD，
∴CD=5x，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠DOB=∠ODC=∠DCB=90°，
∴四边形OBCD是矩形，
∴OB=CD=5x．
∵B（5，0），
∴OB=5，
∴5x=5，
∴x=1，
∴AO=3，DO=4，
∴A（-3，0），C（5，4）．
设直线AC的解析式为，y=kx+b，由题意得

0=-3k+b
4=5k+b
，
解得：

k=
1
2
b=
3
2
．
故直线AC的解析式为：y=
1
2
x+
3
2
．

（2）∵当x=0时，y=
3
2
，
∴E（0，
3
2
），
∴OE=
3
2
，
∴DE=
5
2
．
在Rt△CDE和Rt△AOE中由勾股定理得：
CE=
5

5
2
，AE=
3

5
2
，
∴AC=4

5
．
∵OA=3，OB=5，
∴AB=8，
∵BC=4，
∴tan∠BAC=
1
2
，sin∠BAC=

5
5
，
∴当0＜t＜
5
2
时，S=
2t(4

5
-

5
t)

5
5
2
-
2t×
3
2
2
，=-t2+
5
2
t；
当
5
2
＜t≤4时，S=
2t×
3
2
2
-
2t(4

5
-

5
t)

5
5
2
=t2-
5
2
t；
综上所述，
∴S=

-t2+
5
2
t(0＜t＜
5
2
)
t2-
5
2
t(
5
2
＜t≤4)
；

（3）①如图1，作NH⊥CD与H，MG⊥AB与G，QR⊥AB与R，
∴∠MHN=∠MGP=∠PRQ=90°，
∵四边形QPMN为正方形，
∴MP=MN=PQ，∠NMP=∠MPQ=90°，
∴∠NMH=∠GMP=∠QPR，
∵在△MHN和△PRQ中，

∠MHN=∠PRQ
∠NMH=∠QPR
MN=QP
，
∴△MHN≌△PRQ（AAS）．
∴NH=QR．
在△GMP和△RPQ中，

∠MGP=∠PRQ
∠GMP=∠QPR
MP=PQ

∴△GMP≌△RPQ（AAS），
∴GM=RP．GP=QR．
∵GM=OD=4cm，
∴RP=4cm．
∵
AR
4

5
-

5
t
=
4

5
8
，
∴AR=8-2t，
∴PR=8-2t-2t=4，
∴t=1，
∴AR=6，AP=2，
∴PO=1，
∵
QR
AR
=
1
2

∴QR=3，
∴GO=4，
∴HN=3，MH=4，．
∴H、O在同一直线上，
∴N（0，7）
②如图2，作NS⊥CD于S，QH⊥AB于H，MR⊥AB于R，
∴∠NSM=∠QHP=∠PRM=90°，
∵四边形PQNM是正方形，
∴∠QPM=∠PMN=90°，PQ=PM=MN，
∴∠HPQ=∠PMR=∠NMS，
∴同①可以得出△NSM≌△QHP≌△PRM，
∴NS=QH=PR，HP=MR=SM=4，
∵
AH
AQ
=
8
4

5
，
∴
AH
4

5
-

5
t
=
8
4

5
，
∴AH=8-2t，
∴2t-（8-2t）=4，
∴t=3，
∴AH=2，HO=1，
∴QH=SN=1，OR=4，
∴SM=OR，
∴S在y轴上，
∴N（0，5）
综上所述，N点的坐标为：（0，7）或（0，5）

据专家权威分析，试题“如图，已知在平面直角坐标系中，直角梯形ABCD，AB∥CD，AD=CD，∠A..”主要考查你对  求一次函数的解析式及一次函数的应用  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

  • 待定系数法求一次函数的解析式：
    先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。

    一次函数的应用：
    应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
    （1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
    （2）注意自变量的取值范围。

  • 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
    第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
    第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
    第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
    第四步（写）：写出该函数的解析式。

    一次函数的应用涉及问题：
    一、分段函数问题
    分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
    合实际。

    二、函数的多变量问题
    解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
    求可以反映实际问题的函数

    三、概括整合
    （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
    （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

    生活中的应用：
    1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

  • 一次函数应用常用公式：
    1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
    2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
    3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
    4.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]
    5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
    两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
    6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
    7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)
    （x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
    （x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
    （x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
    （x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
    8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2
    9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1
    10.
    y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
    y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
    y=kx+b+n就是向上平移n个单位
    y=kx+b-n就是向下平移n个单位
    口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
    11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/67/2019-03-24/894559.html十二生肖
十二星座