如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=-12x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存-数学打印页面

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如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=-12x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存-数学

[db:作者] 2019-03-24 00:00:00 零零社区

题文

如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=-
1
2
x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．
题型：解答题难度：中档

答案

存在．
方法一：当x=t时，y=x=t；
当x=t时，y=-
1
2
x+2=-
1
2
t+2．
∴E点坐标为（t，-
1
2
t+2），D点坐标为（t，t）．（2分）
∵E在D的上方，
∴DE=-
1
2
t+2-t=-
3
2
t+2，且t＜
4
3
．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
若t＞0，PE=DE时，-
3
2
t+2=t，
∴t=
4
5
，-
1
2
t+2=
8
5
，
∴P点坐标为（0，
8
5
）．（5分）
若t＞0，PD=DE时，-
3
2
t+2=t，
∴t=
4
5
，
∴P点坐标为（0，
4
5
）．（6分）
若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴-
3
2
t+2=2t（7分）
∴t=
4
7
，DE的中点坐标为（t，
1
4
t+1），
∴P点坐标为（0，
8
7
）．（8分）
若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，-
3
2
t+2=-t，t=4＞0（不符合题意，舍去），
此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，-
3
2
t+2=-2t，（11分）
∴t=-4，
1
4
t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上所述：当t=
4
5
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
5
）或（0，
4
5
）；
当t=
4
7
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
7
）；
当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

方法二：设直线y=-
1
2
x+2交y轴于点A，交直线y=x于点B，过B点作BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N．
∵x=t平行于y轴，
∴MN=|t|．（1分）
∵
y=x
y=-
1
2
x+2
，
解得x=
4
3
，y=
4
3
，
∴B点坐标为（
4
3
，
4
3
），
∴BM=
4
3
，
当x=0时，y=-
1
2
x+2=2，
∴A点坐标为（0，2），
∴OA=2．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
如图，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，
∴PE=t，PD=t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
．（5分）
∴
t
2
=
4
3
-t
4
3
，
∴t=
4
5

当t=
4
5
时，y=-
1
2
x+2=
8
5
，y=x=
4
5

∴P点坐标为（0，
8
5
）或（0，
4
5
）．（6分）
若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=2t．
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
（7分）
∴
2MN
2
=
4
3
-MN
4
3
，
∴MN=t=
4
7
，DE中点的纵坐标为
1
4
t+1=
8
7
，
∴P点坐标为（0，
8
7
）（8分）
如图，
若t＜0，PE=DE或PD=DE时，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
（9分）
DE=-4（不符合题意，舍去），此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=-2t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴
DE
OA
=
BN
BM
（11分）
∴
2MN
2
=
4
3
+MN
4
3
，
∴MN=4，
∴t=-4，
1
4
t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上述所述：当t=
4
5
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
5
）或（0，
4
5
）；
当t=
4
7
时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，
8
7
）；当t=-4时，
△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

据专家权威分析，试题“如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线..”主要考查你对求一次函数的解析式及一次函数的应用等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

求一次函数的解析式及一次函数的应用

考点名称：求一次函数的解析式及一次函数的应用

待定系数法求一次函数的解析式：
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。

一次函数的应用：
应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。
（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；
（2）注意自变量的取值范围。
用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：
第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）
第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。
第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。
第四步（写）：写出该函数的解析式。

一次函数的应用涉及问题：
一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
合实际。

二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数

三、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。

生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
一次函数应用常用公式：
1.求函数图像的k值：（y₁-y₂)/(x₁-x₂)
2.求与x轴平行线段的中点：(x₁+x₂)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y₁+y₂)/2
4.求任意线段的长：√[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)² ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y₁=k₁x+b₁; y₂=k₂x+b₂ 令y₁=y₂得k₁x+b₁=k₂x+b₂ 将解得的x=x0值代回y₁=k₁x+b₁ ; y₂=k₂x+b₂ 两式任一式得到y=y₀ 则(x₀,y₀)即为 y₁=k₁x+b₁与 y₂=k₂x+b₂ 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂）/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x₁）/(x₁-x₂)=(y-y₁)/(y₁-y₂) (若分母为0，则分子为0)
（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线y₁=k₁x+b₁//y₂=k₂x+b₂，则k₁=k₂，b₁≠b₂
9.如两条直线y₁=k₁x+b₁⊥y₂=k₂x+b₂，则k₁×k₂=-1
10.
y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/67/2019-03-24/894646.html十二生肖
十二星座