零零教育信息网 首页 > 考试 > 数学 > 初中数学 > 完全平方公式 > 正文 返回　打印

已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）A．-18B．0C．1D．98-数学
[db:作者]  2019-04-04 00:00:00  互联网

题文

已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（　　）
A．-
1
8
B．0C．1D．
9
8
题型：单选题  难度：中档

答案

∵（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，
∴2|ab|≤a2+b2=1，
∴-
1
2
≤ab≤
1
2
，
令y=a4+ab+b4=（a2+b2）2-2a2b2+ab=-2a2b2+ab+1=-2（ab-
1
4
）2+
9
8
，
当-
1
2
≤ab≤
1
4
时，y随ab的增大而增大，
当
1
4
≤ab≤
1
2
时，y随ab的增大而减小，
故当ab=-
1
2
时，a4+ab+b4的最小值，为-2（-
1
2
-
1
4
）2+
9
8
=-2×
9
16
+
9
8
=0，
即a4+ab+b4的最小值为0，当且仅当|a|=|b|时，ab=-
1
2
，此时a=-

2
2
，b=

2
2
，或 a=

2
2
，b=-

2
2
．
故选B．

据专家权威分析，试题“已知实数a，b满足a2+b2=1，则a4+ab+b4的最小值为（）A．-18B．0C．1D．..”主要考查你对  完全平方公式，二次函数的最大值和最小值  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

完全平方公式二次函数的最大值和最小值

考点名称：完全平方公式

  • 完全平方公式：
    两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
    （a+b）2=a2+2ab+b2，
    （a-b）2=a2-2ab+b2。

    （1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。
    （2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。
    该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。

  • 结构特征：
    1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；
    2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；
    左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）;
    3..公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式．

    记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。

  • 使用误解：
    ①漏下了一次项；
    ②混淆公式；
    ③运算结果中符号错误；
    ④变式应用难于掌握。

    注意事项：
    1、左边是一个二项式的完全平方。
    2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
    3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。

  • 完全平方公式的基本变形：
    （一）、变符号
    例：运用完全平方公式计算：
    （1）(-4x+3y)2
    （2）(-a-b)2
    分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。
    解答：
    (1)16x2-24xy+9y2
    (2)a2+2ab+b2

    （二）、变项数：
    例：计算：(3a+2b+c)2
    分析：完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾。所以在运用公式时，(3a+2b+c)2可先变形为[(3a+2b)+c]2，直接套用公式计算。
    解答：9a2+12ab+6ac+4b2+4bc+c2

    （三）、变结构
    例：运用公式计算：
    （1）(x+y)(2x+2y)
    （2）(a+b)(-a-b)
    （3）(a-b)(b-a)
    分析；本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了，即
    （1）（x+y）(2x+2y)=2(x+y)2
    （2） (a+b)(-a-b)=-(a+b)2
    （3） (a-b)(b-a)=-（a-b）2

考点名称：二次函数的最大值和最小值

  • 二次函数的最值：
    1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a>0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；
    当a<0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。
    也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。
    2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时 。



http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/76/2019-04-04/937694.html十二生肖
十二星座