给定整数n≥3，实数a1，a2，…，an满足min1≤i＜j≤n|ai-aj|=1．求nk=1|ak|3的最小值．-数学打印页面

给定整数n≥3，实数a1，a2，…，an满足min1≤i＜j≤n|ai-aj|=1．求nk=1|ak|3的最小值．-数学

[db:作者] 2019-04-04 00:00:00 零零社区

题文

给定整数n≥3，实数a₁，a₂，…，a_n满足min_{1≤i＜j≤n}|a_i-a_j|=1．求
n
k=1
|ak|3的最小值．
题型：解答题难度：中档

答案

不妨设a₁＜a₂＜…＜a_n，则对1≤k≤n，有|a_k|+|a_n-k+1|≥|a_n-k+1-a_k|≥|n+1-2k|，
所以
n
k=1
|ak|3=
1
2
n
k=1
(|ak|3+|an+1-k|3)=
1
2
n
k=1
(|ak|+|an+1-k|)(
3
4
(|ak|-|an+1-k|)2+
1
4
(|ak|+|an+1-k|)2)≥
1
8
n
k=1
(|ak|+|an+1-k|)3≥
1
8
n
k=1
|n+1-2k|3．
当n为奇数时，
n
k=1
|n+1-2k|3=2?23?
n-1
2
i=1
i3=
1
4
(n2-1)2．
当n为偶数时，
n
k=1
|n+1-2k|3=2
n
2
i=1
(2i-1)3=2(
n
j=1
j3-
n
2
i=1
(2i)3)=
1
4
n2(n2-2)．
所以，当n为奇数时，
n
k=1
|ak|3≥
1
32
(n2-1)2，当n为偶数时，
n
k=1
|ak|3≥
1
32
n2(n2-2)，等号均在ai=i-
n+1
2
，i=1，2，n时成立．
因此，
n
k=1
|ak|3的最小值为
1
32
(n2-1)2（n为奇数），或者
1
32
n2(n2-2)（n为偶数）．

据专家权威分析，试题“给定整数n≥3，实数a1，a2，…，an满足min1≤i＜j≤n|ai-aj|=1．求nk=1..”主要考查你对整式的加减乘除混合运算等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

整式的加减乘除混合运算

考点名称：整式的加减乘除混合运算

加法、减法、乘法和除法，统称为四则运算。
其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
注意运算顺序，先做乘方，再做乘除，最做加减运算，如果有同类项，就合并同类项，要求结果必须是最简形式。
基本运算顺序：
只有一级运算时，从左到右计算；
有两级运算时，先乘除,后加减。
有括号时，先算括号里的；
有多层括号时，先算小括号里的。
要是有平方，先算平方。
在混合运算中，先算括号内的数，括号从小到大，然后从高级到低级。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/77/2019-04-04/947881.html十二生肖
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