【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式nm的分子、分母都加上1，所得的分式n+1m+1的值增大了还是减小了？”．小明想到了“用nm减去n+1m+1判断差的正负性”的思路；小亮-数学打印页面

【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式nm的分子、分母都加上1，所得的分式n+1m+1的值增大了还是减小了？”．小明想到了“用nm减去n+1m+1判断差的正负性”的思路；小亮-数学

[db:作者] 2019-04-08 00:00:00 零零社区

题文

【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式
n
m
的分子、分母都加上1，所得的分式
n+1
m+1
的值增大了还是减小了？”．
小明想到了“用
n
m
减去
n+1
m+1
判断差的正负性”的思路；
小亮的想法是“可以直接将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”．
两人的解题思路都正确．
【问题】
（1）小亮提出问题：已知m＞n＞1，分式
n
m
的分子、分母都减去1后所得的分式
n-1
m-1
的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．
（2）小明进一步提出问题：已知m＞n＞a，分式
n
m
的分子、分母都减去a后，所得分式
n-a
m-a
的值增大了还是减小了？请你探索解答这个问题．
题型：解答题难度：中档

答案

（1）
n
m
-
n-1
m-1
=
n(m-1)-m(n-1)
m(m-1)
=
m-n
m(m-1)
，
∵m＞n＞1，
∴m-n＞0，m（m-1）＞0，
∴
m-n
m(m-1)
＞0，即
n
m
＞
n-1
m-1
，
∴分式
n
m
的分子、分母都减去1后所得的分式
n-1
m-1
的值减小了；

（2）
n
m
-
n-a
m-a
=
n(m-a)-m(n-a)
m(m-a)
=
(m-n)a
m(m-a)
，
∵m＞n＞a，
∴当m＞n＞a＞0时，（m-n）a＞0，m（m-a）＞0，
∴
n
m
＞
n-a
m-a
；
当0＞m＞n＞a时，（m-n）a＜0，m（m-a）＜0，
∴
(m-n)a
m(m-a)
＞0，
∴
n
m
＞
n-a
m-a
；
当m＞0，n＜0时，a＜n＜0，
∴（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴
(m-n)a
m(m-a)
＜0，即
n
m
＜
n-a
m-a
；
当m＞n＞0，a＜0时，（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴
(m-n)a
m(m-a)
＜0，即
n
m
＜
n-a
m-a
．

据专家权威分析，试题“【背景】小明和小亮研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式nm的分子、分母..”主要考查你对分式的加减等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减

考点名称：分式的加减

分式的加减法则：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：
分式的加减要求：
①分式的加减运算结果必须是最简分式或整式，运算中要适时地约分；
②如果一个分式与一个整式相加减，那么可以把整式看成是分母为1的分式，先通分，再进行加减。

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