解:方程两边都乘以(x+1)(x﹣1)得, (x+1)2+(x﹣1)2+2x+a+2=0,整理得,2x2+2x+a+4=0, ①△=b2﹣4ac=22﹣4×2×(a+4)=﹣8a﹣28, (1)当方程①有两个相等的实数根时,△=0,即﹣8a﹣28=0, 解得a1=﹣,此时方程①有一个根x=﹣,验证可知x=﹣的确满足题中的等式, (2)当方程①有两个不相等的实数根时,△>0,即﹣8a﹣28>0,解得a<﹣, (i)若x=1是方程①的根,则原方程有增根x=1,代入①得,2+2+a+4=0,解得a2=﹣8,此时方程①的另一个根x=﹣2,它的确也满足题中的等式; (ii)若x=﹣1是方程①的根,则原方程有增根x=﹣1,代入①得,2﹣2+a+4=0,解得a3=﹣4,此时方程①的另一个根x=0,验证可知x=0的确满足题中的等式;因此a1=﹣,a2=﹣8,a3=﹣4即为所求,a1+a2+a3=﹣﹣8﹣4=﹣. 故答案为:﹣. |