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在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(xx-1)2-4(xx-1)+4=0．学生甲：老师，原方程可整理为x-数学
[db:作者]  2019-04-08 00:00:00  互联网

题文

在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后再解答问题．
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：(
x
x-1
)2-4(
x
x-1
)+4=0．
学生甲：老师，原方程可整理为
x2
(x-1)2
-
4x
x-1
+4=0，再去分母，行得通吗？
老师：很好，当然可以这样做．
再仔细观察，看看这个方程有什么特点？还可以怎样解答？
学生乙：老师，我发现
x
x-1
是整体出现的！
老师：很好，我们把
x
x-1
看成一个整体，用y表示，即可设
x
x-1
=y，那么原方程就变为y2-4y+4=0．
全体学生：噢，等号左边是一个完全平方式？！方程可以变形成（y-2）2=0
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然y2-4y+4=0的根是y=2，那么就有
x
x-1
=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x=2，再验根就可以了！
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法，这是一种重要的转化方法．
全体同学：OK，换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（组）：
（1）(
2x
x-1
)2-
4x
x-1
+1=0
（2）

6
x-y
+
4
x+y
=3
9
x-y
-
1
x+y
=1
．
题型：解答题  难度：中档

答案

（1）设
2x
x-1
=y，则原方程变形为：y2-2y+1=0，即（y-1）2=0，
解得：y=1，即
2x
x-1
=1，即2x=x-1，
解得：x=-1，
经检验：x=-1是原方程的解；

（2）设
1
x-y
=u，
1
x+y
=v，
则原方程组化为：

6u+4v=3
9u-v=1
，
解得：

u=
1
6
v=
1
2
，即

1
x-y
=
1
6
1
x+y
=
1
2
，
整理得：

x+y=2
x-y=6
，
解得：

x=4
y=-2
，
经检验，

x=4
y=-2
是原方程组的解．

据专家权威分析，试题“在一次数学兴趣小组的活动课上，有下面的一段对话，请你阅读完后..”主要考查你对  解分式方程  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

解分式方程

考点名称：解分式方程

  • 解法：
    解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，其一般步骤是：
    （1）去分母：分式方程两边同乘以方程中各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程。
    (最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）
    （2）解方程：解整式方程，得到方程的根；
    （3）验根：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
    否则，这个解不是原分式方程的解，是原分式方程的增根。
    如果分式本身约分了，也要带进去检验。
    在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
    一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
    注意：
    （1）注意去分母时，不要漏乘整式项。
    （2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。
    （3）増根使最简公分母等于0。

    分式方程的特殊解法：
    换元法：
    换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

  • 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。
    解分式方程注意：
    ①解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程进一步求得分式方程的解；
    ②用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边，从而约去分母，但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项；
    ③解分式方程可能产生使分式方程无意义的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤。
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