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已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c-1=49，则a2+b2+c2=______．-数学
[db:作者]  2019-04-10 00:00:00  互联网

题文

已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，
a
a2-3a-1
+
b
b2-3b-1
+
c
c2-3c-1
=
4
9
，则a2+b2+c2=______．
题型：填空题  难度：中档

答案

∵abc=-1，a+b+c=4，
∴a2-3a-1=a2-3a+abc=a（bc+a-3）=a（bc-b-c+1）=a（b-1）（c-1），
∴
a
a2-3a-1
=
1
(b-1)(c-1)
，
同理可得：
b
b2-3b-1 
=
1
(a-1)(c-1)
，
c
c2-3c-1
=
1
(a-1)(b-1)
，
又
a
a2-3a-1
+
b
b2-3b-1 
+
c
c2-3c-1
=
4
9
，
∴
1
(b-1)(c-1)
+
1
(a-1)(c-1)
+
1
(a-1)(b-1)
=
4
9
，
∴
(a-1)+(b-1)+(c-1)
(a-1)(b-1)(c-1)
=
4
9
，即
4
9
（a-1）（b-1）（c-1）=（a-1）+（b-1）+（c-1），
整理得：
4
9
（abc-ab-ac-bc+a+b+c-1）=a+b+c-3，
将abc=-1，a+b+c=4代入得：ab+bc+ac=-
1
4
，
则a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）=
33
2
．
故答案为：
33
2
．

据专家权威分析，试题“已知实数a，b，c满足abc=-1，a+b+c=4，aa2-3a-1+bb2-3b-1+cc2-3c..”主要考查你对  分式的加减乘除混合运算及分式的化简  等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

  • 分式的加减乘除混合运算：
    分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。

    分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。

  • 分式的混合运算：
    在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
    注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
    注意分式乘除法法则的灵活应用。
http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/87/2019-04-10/989753.html十二生肖
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