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设a1，a2，…，an都是正数．试证：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an．①-数学

[db:作者] 2019-04-10 00:00:00 互联网

题文

设a₁，a₂，…，a_n都是正数．试证：
a 21
a2
+
a 22
a3
+…+
a 2n-1
an
+
a 2n
a1
≥a₁+a₂+…+a_n．①
题型：解答题难度：中档

答案

证明：欲证①成立，先考虑最简单的情形，设n=3，即证
a 21
a2
+
a 22
a1
+
a 23
a1
≥a₁+a₂+a₃…②
把②变形为
（
a 21
a2
-a1）²+（
a 22
a3
-a2）²+（
a 23
a1
-a3）²≥0…③
即证
a1
a2
(a1-a2)+
a2
a3
(a2-a3)+
a3
a1
(a3-a1)≥0…④
由于④中左边有（a₁-a₂），（a₂-a₃），（a₃-a₁），其和为零，因此，我们猜想：若④式左边相加，其和不小于（a₁-a₂），（a₂-a₃），（a₃-a₁）之和即可．为此，我们证更简单的事实．
设a，b是任意正整数，则有
a
b
(a-b)≥(a-b)…⑤
事实上，由（a-b）²≥0有
a²-ab≥ab-b²，
所以a（a-b）≥b（a-b）
所以
a
b
≥（a-b）
根据⑤，④显然成立，因为
a1
a2
(a1-a2)+
a2
a3
(a2-a3)+
a3
a1
(a3-a1)≥（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+（a₃-a₁）≥0，
从而③式成立，②式成立．
剩下来的工作是把②式推到一般情形①，这是很容易的．因为根据⑤，①式必然成立，因为
a1
a2
(a1-a2)+
a2
a3
(a2-a3)+…+
an-1
an
(an-1-a2)+
an
a1
(an-a1)≥（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）+（a_n-a₁）=0

据专家权威分析，试题“设a1，a2，…，an都是正数．试证：a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+..”主要考查你对分式的加减乘除混合运算及分式的化简等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：

分式的加减乘除混合运算及分式的化简

考点名称：分式的加减乘除混合运算及分式的化简

分式的加减乘除混合运算：
分式的混合运算应先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的。也可以把除法转化为乘法，再运用乘法运算。

分式的化简：借助分式的基本性质，应用换元法、整体代入法等，通过约分和通分来达到简化分式的目的。
分式的混合运算：
在解答分式的乘除法混合运算时，注意两点，就可以了：
注意运算的顺序：按照从左到右的顺序依次计算；
注意分式乘除法法则的灵活应用。

http://www.00-edu.com/ks/shuxue/2/87/2019-04-10/990618.html十二生肖
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