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题文
如图，反比例函数 （ ）与长方形 在第一象限相交于 、 两点， ， ，连结 、 、 ．记 、 的面积分别为 、 ．
（Ⅰ）①点 坐标为 ；② （填“>”、“<”、“=”）；
（Ⅱ）当点为线段 的中点时，求 的值及点坐标；
（Ⅲ）当 时，试判断 的形状 ，并求的面积． |
题型：解答题 难度：中档
答案
（Ⅰ）①点 坐标为 ；② ；（Ⅱ） ， ；（Ⅲ）直角三角形， |
试题分析：（Ⅰ）①根据，即可求得点坐标；②根据反比例系数k的几何意义即可判断；
（Ⅱ）根据点 为 中点可得点的坐标为 ，再代入 ，即可求得的值，从而得到点坐标；
（Ⅲ）由 可得 ，从而求得k的值，再分别求得点、点 的坐标，然后根据勾股定理的逆定理证得 为直角三角形，最后根据直角三角形的面积公式即可求得结果.
（Ⅰ）①点坐标为；②．
（Ⅱ）当点为中点时， ．
∴点的坐标为
把 代入，得 ，解得．
∴ ．
当 时， ，
∴点坐标为．
（Ⅲ）∵，
∴．
∴ ，即 ．
当 时， ，解得 ，故点坐标为 ；
当时， ，故点坐标为 ．
∴ ，
 ，
 ．
∴ ．
∴ ．
∴为直角三角形．
∴的面积 ．
点评：函数的综合题是初中数学的重点，在中考中比较常见，一般作为压轴题出现，难度较大． |
据专家权威分析，试题“如图，反比例函数（）与长方形在第一象限相交于、两点，，，连结、..”主要考查你对 反比例函数的定义，反比例函数的图像，反比例函数的性质，求反比例函数的解析式及反比例函数的应用 等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
反比例函数的定义反比例函数的图像反比例函数的性质求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
考点名称：反比例函数的定义 考点名称：反比例函数的图像 考点名称：反比例函数的性质 考点名称：求反比例函数的解析式及反比例函数的应用
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（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围也是一切非零实数。 
，所以反比例函数可以写成
的形式，自变量x的次数为-1； 
，因此判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数。
（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积
。过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为
。
存在两个交点，若设2点的横坐标分别为x1,x2，那么这两个交点与原点连线和两点之间的连线所构成的三角形面积为
，反比例函数的性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，列表归纳如下：
中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数。因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，代入